C语言算法（二）

二、插入类排序

　插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

  插入排序一般意义上有两种：直接插入排序和希尔排序，下面分别介绍。

3、直接插入排序

基本思想：

最基本的操作是将第i个记录插入到前面i-1个以排好序列的记录中。具体过程是：将第i个记录的关键字K依次与其前面的i-1个已经拍好序列的记录进行比较。将所有大于K的记录依次向后移动一个位置，直到遇到一个关键字小于或等于K的记录，此时它后面的位置必定为空，则将K插入。

图示：

C语言实现：

void InsertSort(int arr[], int n)
{
int temp;
int i,j;
for (int i = 1; i < arr.Length; i++)    
        {    
            int temp = arr[i];    
            int j = i;    
            while ((j > 0) && (arr[j - 1] > t))    
            {    
                arr[j] = arr[j - 1];//交换顺序    
                --j;    
            }    
            arr[j] = temp;    
        }   
               
}

算法分析：

1．算法的时间性能分析
　对于具有n个记录的文件，要进行n-1趟排序。
各种状态下的时间复杂度：
初始文件状态       正序         反序        无序(平均)
字比较次数          1             i+1         （i-2）/2
总关键字比较次数 n-1         (n+2)(n-1)/2 ≈n2/4
第i趟记录移动次数 0           i+2           （i-2）/2
总的记录移动次数 0           (n-1)(n+4)/2 ≈n2/4
时间复杂度      0（n）      O（n2）        O（n2）
注意：
　初始文件按关键字递增有序，简称"正序"。
　初始文件按关键字递减有序，简称"反序"。
2．算法的空间复杂度分析
　算法所需的辅助空间是一个监视哨，辅助空间复杂度S(n)=O(1)。是一个就地排序。
3．直接插入排序的稳定性
　直接插入排序是稳定的排序方法。

直接插入排序法，针对少量的数据项排序，速度比较快，数据越大，这中方法的劣势也就越明显了。

改进方案：折半插入排序（binary insertion sort）

思路：折半插入排序（binary insertion sort）是对插入排序算法的一种改进，由于排序算法过程中，就是不断的依次将元素插入前面已排好序的序列中。由于前半部分为已排好序的数列，这样我们不用按顺序依次寻找插入点，可以采用折半查找的方法来加快寻找插入点的速度。

具体操作：在将一个新元素插入已排好序的数组的过程中，寻找插入点时，将待插入区域的首元素设置为a[low],末元素设置为a[high]，则轮比较时将待插入元素与a[m],其中m=(low+high)/2相比较,如果比参考元素小，则选择a[low]到a[m-1]为新的插入区域(即high=m-1)，否则选择a[m+1]到a[high]为新的插入区域（即low=m+1），如此直至low<=high不成立，即将此位置之后所有元素后移一位，并将新元素插入a[high+1]。

C语言实现：

 void BInsertSort(int data[],int n)
  {
       int low,high,mid;
       int temp,i,j;
       for(i=1;i<n;i++)
       {
                       low=0;
                       temp=data[i];// 保存要插入的元素
                      high=i-1;
                    while(low<=high) //折半查找到要插入的位置
                    {                       
                   mid=(low+high)/2;
                      if(data[mid]>temp)
                         high=mid-1;
                      else
                       low=mid+1;
                     }
                int j = i;    
            while ((j > low) && (arr[j - 1] > t))    
            {    
                arr[j] = arr[j - 1];//交换顺序    
                --j;    
            }    
            arr[low] = temp;  

 } 

 }

算法分析：折半插入排序算法是一种稳定的排序算法，比直接插入算法明显减少了关键字之间比较的次数，因此速度比直接插入排序算法快，但记录移动的次数没有变，所以折半插入排序算法的时间复杂度仍然为O(n^2)，与直接插入排序算法相同。附加空间O(1)。

4、希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。是针对直接插入排序算法的改进。该方法又称缩小增量排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。

 基本思想：
　    先取一个小于n的整数d₁作为第一个增量，把文件的全部记录分成d₁个组。所有距离为d_l的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插人排序；然后，取第二个增量d₂<d₁重复上述的分组和排序，直至所取的增量d_t=1(d_t<d_t-l<…<d₂<d₁)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。
    　该方法实质上是一种分组插入方法。

举例阐述：

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后我们对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ].这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

10 14 73
25 23 13
27 94 33
39 25 59
94 65 82
45

排序之后变为：

10 14 13
25 23 33
27 25 59
39 65 73
45 94 82
94

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）。

图示：

 C++代码实现：

 1 void shellsort(int *data, size_t size)
 2 {
 3     for (int gap = size / 2; gap > 0; gap /= 2)
 4         for (int i = gap; i < size; ++i)
 5         {
 6  
 7              int key = data[i];
 8              int j = 0;
 9              for( j = i -gap; j >= 0 && data[j] > key; j -=gap)
10              {
11                 data[j+gap] = data[j];
12               }  
13              data[j+gap] = key;
14          }
15 }

性能分析：

希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比o(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。

最差时间复杂度	根据步长序列的不同而不同。 已知最好的:
最优时间复杂度	O(n)
平均时间复杂度	根据步长序列的不同而不同。