【初识】KMP算法入门

举个例子

模式串S：a s d a s d a s d f a s d

匹配串T：a s d a s d f

如果使用朴素匹配算法——

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a s d a s d a s d f a s d

a s d a s d f

1 2 3 4 5 6 7

此时，匹配到了S7和T7了，S7为a而T7为f，不匹配那么朴素的匹配算法会这么做——

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a s d a s d a s d f a s d

  a s d a s d f

  1 2 3 4 5 6 7

这时，我们会发现，模式串回溯到了S2，而匹配串回溯到了T1。

很明显，这会极大的降低算法的效率，在最坏情况下，我们需要将模式串几乎每个元素都查询一次，而每次查询都从匹配串的串首走到接近串尾，这样的时间复杂度为n*m，其中n和m分别为模式串和匹配串的长度。

那么我们是否有可能降低时间复杂度呢？答案是肯定的——很明显我们只需要想办法减少回溯，就可以达到效果。Kmp算法就是使用这种方法节省时间的。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a s d a s d a s d f a s d

a s d a s d f

1 2 3 4 5 6 7

这个东西很熟悉吧？刚刚出现过一次。

那么，kmp算法会怎么执行下一步呢？答案如下——

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

a s d a s d a s d f a s d

        a s d a s d f

        1 2 3 4 5 6 7

注意这一步！这里的模式串根本没有回溯，只是将匹配串向后移动了若干步。这样，最坏情况只是将模式串走一遍，然后将匹配串走一遍，当然了，匹配串里面的部分元素会走多次，但是，很明显这种算法会将n*m降低到n+k，这个k和m内部部分元素的重复次数有关，最大不会超过n（当然这是我自己证明得到的，不一定正确，以后我还会继续证明的）。

好了，方法知道了，那么怎么实现呢？

换句话说，怎么实现迅速的移动匹配串呢？答案是——添加一个Next数组，标记匹配串中的特性。

这个Next数组的特性很明显

1. Next[0] = -1，即这是第一个元素，前面没有可以替换它的。
2. Next[j] = k ; { k | T[0] = T[j-k], T[1] = T[j-k+1],... , T[k-1] = T[j-1]}。
3. Next[j] = 0; 其他情况。

举例：

匹配串T: a  s  d  a  s  d  f

Next:   -1  0  0  0  1  2  3

具体见代码——

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2010;

char s[N], t[N];
int Next[N];
int lenS, lenT;

void kmpNext(char* T)                                           //计算Next数组
{
    int i = 1;
    Next[0] = -1;                                               //Next[0] = -1
    while(i < lenT)
    {
        int j = 0;
        while(T[j] == T[i])                                     //Next[i] = j; { j | T[0] = T[i-j], T[1] = T[i-j+1],... , T[j-1] = T[i-1]}
        {
            Next[i] = j;
            i++;
            j++;
        }
        Next[i] = j;                                            //同上，或等于0
        i++;
    }
}

bool kmp(char* S, char* T)                                      //kmp
{
    lenS = strlen(S);
    lenT = strlen(T);
    kmpNext(T);
    int i = 0, j = 0;
    while(i < lenS && j < lenT)                                 //当模式串或匹配串走完时退出
    {
        if(j == -1)
        {
            i++;
            j = 0;
        }
        else if(S[i] == T[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else j = Next[j];
    }
    if(j == lenT) return 1;                                     //如果匹配串走完，表示匹配串是模式串的子串
    return 0;
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    while(~scanf("%s%s", s, t))
    {
        if(kmp(s, t)) printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }
    return 0;
}