LeetCode 4 -- Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

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假设两个数组总共有n个元素，那么显然我们有用O(n)时间和O(n)空间的方法：用merge sort的思路排序，排序好的数组取出下标为k-1的元素就是我们需要的答案。

public class MedianofTwoSortedArrays2 {
    //只不过不符合算法要求，时间复杂度在于排序的 n*log(n)
    public static double findMedianLow(int A[], int B[]) {
        int[] sumArray = ArrayUtils.addAll(A, B);
        Arrays.sort(sumArray);
        int length = sumArray.length;
        if (length % 2 == 0) {
            double num1 = sumArray[length / 2];
            double num2 = sumArray[length / 2 - 1];
            return (num1 + num2) / 2;
        } else {
            return sumArray[length / 2];
        }
    }

最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

代码如下：

public static double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        int total = m + n;
        //长度为积数取中间，为偶数去中间两个的平均值
        if ((total & 0x01) != 0) {
            return findMedian(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        } else {
            return (findMedian(A, m, B, n, total / 2) + findMedian(A, m, B, n,
                    total / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
 
    //二分法，每次都能去除掉一部分范围外数据。需要注意每次去除数据都会改变数组的结构，所以需要特殊处理临界值
    private static double findMedian(int A[], int m, int B[], int n, int target) {
        if (m == 0) {
            return B[target - 1];
        } else if (n == 0) {
            return A[target - 1];
        } else if (target == 1) {
            return A[0] < B[0] ? A[0] : B[0];
        }
        int temp = target / 2;
        if (Math.min(m, n) < temp) {
            temp = Math.min(m, n);
        }
        if (A[temp - 1] > B[temp - 1]) {
            return findMedian(A, m, Arrays.copyOfRange(B, temp, n), n - temp, target - temp);
        } else if (A[temp - 1] < B[temp - 1]) {
            return findMedian(Arrays.copyOfRange(A, temp, m), m - temp, B, n, target - temp);
        } else {
            return A[temp - 1];
        }
    }

public class Solution {
   
    public static int[] C;
   
    public static void quickSort(int a[],int low, int high){
        if(low < high){
        int i = low;
        int tmp;
        for(int j = low; j< high; j++){
            if(a[j]<=a[high]){
                tmp = a[i];
                a[i] = a[j];
                a[j] = tmp;
                ++ i;
                }           
            }
        tmp = a[i];
        a[i] = a[high];
        a[high] = tmp;
        quickSort(a,low,i-1);
        quickSort(a,i+1,high);
        }
    }
   
    public static double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        double i ;
           //combine these two arrays into a new array C
           int l = A.length+B.length;
        C = new int[l];
           System.arraycopy(A, 0, C, 0, A.length);
           System.arraycopy(B, 0, C, A.length, B.length);
          
           quickSort(C,0,l-1);
        
           //for(int ii = 0; ii < l; ii ++)
       //System.out.println(C[ii]);
          
           if(l%2 == 0)
               i = (double) ((C[l/2]+C[l/2-1])/2.0);
           else
               i = (double) C[(l-1)/2];
          
           return i;
     }
}