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  • 求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小。

    求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小。

    1。先画图。
    2。设切点为(a,lna) (2<a<6)
    3。切线方程y-lna=1/a (x-a)
    4。积分求面积公式:
    从2到6的积分,积分号下为 (lna-x/a + 1 -lnx)dx
    可以求出S=关于a的表达式。
    求S'(a)=0,求得a。

    注:若S'(a)恒大于0,或恒小于0,那么说明其是单调的,则当x为区间端点时,可以取得最大或最小值。到底取哪个自己算
    y'=lnx
    不妨设切点坐标为(x0,lnx0)
    切线方程为y-lnx0=(x-x0)/x0即y=lnx0+x/xo-1
    则图形面积为
    S=
    ∫(lnx0+x/xo-1-lnx)dx(从2积到6 )
    =4(lnx0-1)+16/x0-(6ln6-2ln2-4)
    =4lnx0+16/x0-6ln6+2ln2
    S'=4/x0-16/x0^2
    =>x0=4时面积最小
    此时切线方程为y=ln4+x/4-1

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mzdljgz/p/12987856.html
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