CG-光栅图形学直线扫描转换算法-学习笔记

一、直线扫描转换算法——DDA画线算法

备注：DDA（Digital Differential Analyzer） ---> 数值微分法

1. 引进图形学中的一个很重要的思想——增量思想

2. 算法原理

采用直线的斜截式方程进行推理，坐标系为光栅像素坐标系，可用坐标仅为整数坐标点。

y_i = kx_i + b     

y_i+1 = kx_i+1 + b = k (x_i + 1) + b = kx_i + k + b = kx_i + b + k = y_i + k

由以上两式得：  y_i+1 = y_i + k （当前步的Y值等于前一步的Y值加上斜率）

目的：将原来的乘法和加法变成了一个加法！

3. 示例

用DDA扫描转换连接两点P₀（0,0）和P₁（5,3）的直线段1° 计算斜率 k = 0.6 < 1

2° 根据公式 y_i+1 = y_i + k 计算趋近的像素坐标点：     

【注意】此处Y加上0.5是做了四舍五入的处理，减少误差！

二、直线扫描转换算法——中点画线算法

改进：将DDA中的浮点运算变成整数加法！

1. 引入直线的一般式方程：

F（x，y）= 0   ---->  Ax + By + C = 0

其中：A = -（∆y）；B = （∆x）；C = -B（∆x）；

2. 基本数学知识：

1° 对于直线上的点：   F（x，y）= 0

2° 对于直线上方的点：F（x，y）> 0

3° 对于直线下方的点：F（x，y）< 0

3. 算法原理：每次在最大位移方向上走一步，而另一个方向是走还是不走步取决于中点误差项的判断。

将M点的坐标代入直线方程中：

d_i = F（x_m, y_m）= F（x_i + 1, y_i + 0.5）= A（x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C

分三种情况：

当 d < 0 时：M在Q下方，应取P_u；

当 d > 0 时：M在Q上方，应取P_d；

当 d = 0 时：M在直线上，选P_d或P_u均可；

4. 引入增量思想的改进

1° 情况1：

推导d值的递推公式：

d₀ = F（x_m0, y_m0）= F（x_i + 1, y_i + 0.5）= A（x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C

d₁ = F（x_m1, y_m1）= F（x_i + 2, y_i + 1.5）= A（x_i + 2）+ B（y_i + 1.5）+ C

    = A（x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C + A + B = d₀ + A + B

2° 情况2：

同理推导得：

d₁ = F（x_i + 2, y_i + 0.5）= A（x_i + 2）+ B（y_i + 0.5）+ C

    = A （x_i + 1）+ B（y_i + 0.5）+ C + A = d₀ + A

3° d的初始值的计算

d₀ = F（x₀ + 1, y₀ + 0.5）= A（x₀ + 1）+ B（y₀ + 0.5）+ C

     = Ax₀ + By₀ + C + A + 0.5B = A + 0.5B

4° 综上：

三、直线扫描转换算法——Bresenham算法

 1. 基本思想

 该算法的思想是通过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按照直线起点到中点的顺序，计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列像素中与此交点最近的像素；假设每次x+1，y的递增（减）量为0或1，它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离，这个距离的最大误差为0.5；

 2. 原理

 误差项d的初值d₀ = 0， 每一步 d = d + k，一旦d ≥1，就把它减去1，保证d的相对性，且在0、1之间。

得到公式：

 1° 提高效率到整数加法：令 e = d - 0.5 得：；

 2° 由于算法中只用到误差项的符号，于是可以用 e*2*∆x替换e；

 3. 算法步骤：

1° 输入直线的两端点P0（x0, y0）和P1（x1, y1）;

2° 计算初始值∆x、∆y、e = -∆x， x = x0、y = y0；

3° 绘制点（x, y）;

4° e更新为e + 2∆y，判断e的符号。若e>0，则（x，y）更新为（x+1，y+1），同时将e更新为e-2∆x；否则（x, y）更新为(x+1, y)；

5° 当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。