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1.RMQ是啥？
摘自百度
其实你不用看，百度的概念有几个看得懂的？ 对于长度为n的数列A。 回答若干询问RMQ（A[i,j]）(i,j<=n)， 返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。
2.有什么方法？
- 普通遍历查询，O(1)-O(N)
- 线段树，O(N)-O(logN)
- DP，O(NlogN)-O(1)
- RMQ标准算法，O(N)-O(1)
我们这里讲的是DP算法——>ST算法
ST算法是一种比较高效的在线算法。
所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。
ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。
3.怎么做？
首先是预处理，用动态规划（DP）解决。
设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）
例如：
A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。
同理
F[1,1] = max(3,2) = 3；
F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5；
F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8.
并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）
这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。
我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字，2^j）
从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段；’i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段，长度都为2 ^ (j - 1)。（just 如下图）
用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了
状态转移方程 F[i, j]=max(F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1])。
void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn) { for(int j = 1; j < 20; ++j) // 这里j的范围根据具体题目数据定义 for(int i = 1; i <= num; ++i) // num为数组内整数的个数 if(i + (1 << j) - 1 <= num) { maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } }
这里我们需要注意的是循环的顺序，
我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？
可以是i在外，j在内吗？
因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。 状态转移方程的含义是：先更新所有长度为F[i,0]即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。 而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以这样的方法肯定是错误的。 为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。
如何查询：
假如我们需要查询的区间为(i,j)，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂
（可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789）。
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)
则有：RMQ(A[i, j])=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
举例说明，要求区间[2，8]的最大值
k = log2（8 - 2 + 1）= 2
即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；
所以最大的k=log2(R-L+1),在程序中可以用log(R-L+1)/log(2)直接计算k。（记得调用cmath库,万能头不就完了）
4.模板练习
题意：求区间最小值。
#include<cstdio> #include<string> #include<cmath> using namespace std; const int maxm=1e5+5; int m,n; int f[maxm][21]; int read() //快读 { int x=0,f=1;char c=getchar(); while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();} return x*f; } void before()//预处理 { for(int j=1;j<=20;j++) for(int i=1;i<=m;i++) { if(i+(1<<j)-1<=m) //未越界 f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); //dp核心 } } void readdata() { m=read(),n=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { f[i][0]=read(); //初值 } before(); for(int i=1;i<=n;i++) { int a=read(),b=read(); int k=log(b-a+1)/log(2); //计算k printf("%d ",min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k])); //计算最大值 } } int main() { readdata(); return 0; }
练习：P1886 滑动窗口