浅谈卢卡斯定理

前几天gryz组织我们听了几天数论，蒟蒻 Nanjo_Qi 自然是听得一点问题也没有。

于是只能自己yy着学一点其他的数学的东西，正巧在那之前刚刚学会卢卡斯定理，于是现在就来水一篇博客。

其实是不想做题了。正巧机房装修，吵的一批。

卢卡斯（Lucas）定理是什么？

他是用来求组合数 C(n, m) % p 值的定理，这里的p是素数。所以，它是一个解决大组合数求模的算法。所以看起来还是很有用的感觉。

为了给以后的学习做铺垫，我们先来了解一下乘法逆元：

逆元是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，例如加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

而一个数关于模p意义下的逆元可以利用快速幂，扩展欧几里得算法等求得：

已知(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a * a^p-2 ≡ 1 (mod p) ，也就是 (m!(n-m)!) 的逆元为 (m!(n-m)!)^p-2 。

typedef u64 long long;

inline u64 Fast_Pow(u64 k, u64 b) {
    u64 ans = 1;
    while(b) {
        if( b&1 )  ans = ans * k % p;
        k = k * k % p, b >>= 1;
    }
    return ans;
}

然后就可以愉快地学习Lucas了。

推导过程如下（来自百度百科，计算机竞赛不需要证明，所以不想看就算了（bushi））：

首先你需要这个算式:

　　 

 

其中f > 0 && f < p，然后

(1 + x) ⁿ Ξ (1 + x) ^sp+q  Ξ ( (1 + x)^p)^s · (1 + x) ^q Ξ (1 + x^p) ^s · (1 + x) ^q   (mod p)

所以得(1 + x) ^sp+q    (mod p)

我们求左边 (1 + x)^sp+q 中的   的系数为：

求右边公式中的    ：

通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到   的系数，即： 

所以   ，得证。

反正我是没仔细看懂，所以对不对我也不知道。

你只要知道：C(n, m) % p = (C(n/p, m/p) % p) * (C(n%p, m%p) % p) % p 就好了吧？（笑

然后程序可以对 C(n%p, m%p) % p 这个地方递归调用Lucas定理；

以及前面 C(n, m) % p = n! / ( m!(n - m)! ) % p 的除法取模，求一下 n! / ( m!(n - m)! ) 模p意义下的逆元就好了。

其实就是一个公式的东西233，很简单的板子，转眼水完了半上午。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long u64;

const int maxn = 100000 + 10;
u64 n, m, p, fac[maxn];

inline u64 Fast_Pow(u64 x, u64 k) {
    u64 ans = 1;
    while(k) {
        if( k&1 ) ans = ans * x % p;
        k >>= 1, x = x * x % p;
    }
    return ans;
}

u64 C(u64 k, u64 b) {
    if( k<b )  return 0;
    return fac[k] * Fast_Pow(fac[b] % p, p-2) % p * Fast_Pow(fac[k-b] % p, p-2) % p;
}

u64 Lucas(u64 k, u64 b) {
    if( !b )  return 1;
    return C(k%p, b%p) * Lucas(k/p, b/p) % p;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int t;  scanf("%d", &t);
    while( t-- ) {
        fac[0] = 1;
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &p);
        for(int i=1; i<=p; ++i)
            fac[i] = fac[i-1] * i % p;
        printf("%lld
", Lucas(n+m, m));
    }
    return 0;
}

　　　　　　　　　　　　　　　——「看来『那个』不是什么温柔的谎言。」
　　　　　　　　　　　　　　　——「似乎是这样。」雾子微微笑着说，「最后能知道这件事实在太好了。」