Lyndon分解和最小循环表示学习

做CF594E涉及的两个知识点。以下字符串采用Python记法。

Lyndon分解

定义 $S$ 是Lyndon串，当且仅当对于任意有意义的正整数 $i$ 有 $S<S[i:]$.

定义 $S$ 的Lyndon分解是一个Lyndon串的序列 $s_1, s_2, ldots, s_n$, 使得 $S=s_1s_2 cdots s_n$ 并且 $s_1 ge s_2 ge cdots ge s_n$.

Lyndon分解存在且唯一。

不难发现，Lyndon分解可以这么得到：对于 $S$, 取最小的后缀 $S[i:]$, $S$ 的Lyndon分解，是在 $S[:i]$ 的Lyndon分解的最后加上一项 $S[i:]$ 得到的序列。

于是，Lyndon分解可以用后缀数组求，但是这样太复杂了。

Lyndon分解的Duval算法：

设原字符串为 $S$. 逐个加入字符，设已能确定 $S[:i]$ 的Lyndon分解 $s_1, s_2, ldots, s_n$ 为 $S$ 的Lyndon分解的前缀，再尽可能地扩充字符串 $S[i:k]$, 使得 $S[i:k]$ 具有Lyndon周期 $t$, 也就是说，$S[i:k]=(m imes t)u$, 其中 $m$ 是正整数，$t$ 是Lyndon串，$u$ 是 $t$ 的（可以为空的）真前缀。考虑加入字符 $S[k]$, 若 $k=|S|$ 则令 $S[k]=-infty$.

• 若 $S[k]<S[k-|t|]$, 则 $S[i:k+1]$ 就没有Lyndon周期了。不过此时 $S[:i+m|t|]$ 的Lyndon分解已确定，即在 $S[:i]$ 的Lyndon分解末尾添加 $m$ 个 $t$, 取新参数 $i gets i+n|t|$ 重来。
• 若 $S[k]=S[k-|t|]$, 则 $t$ 也是 $S[i:k+1]$ 的Lyndon周期。
• 若 $S[k]>S[k-|t|]$, 则 $S[i:k+1]$ 的Lyndon周期是其本身。

实现上我们只需要维护 $i, k$ 以及 $j=k-|t|$. 代码链接

扩充 $S[i:k]$ 的过程中 $i+kle2|S|$ 且随扩充总轮数递增，因此该算法时间 $O(|S|)$, 除去输入输出只需要 $O(1)$ 额外空间，是一个非常简短而高效的算法。

最小循环表示

最小循环表示，也就是对于字符串 $S$, 求出最小的 $T_i=S[i:]S[:i]$.

我们维护两个决策 $i, j$, 满足 $i<j$ 并且 $[0, i)$ 和 $(i, j)$ 中的整数都不是最优决策。

初始时，设 $i=0, j=1$.

我们通过枚举比较求出 $T_i$ 和 $T_j$ 的最长公共前缀 $k$.

• 若 $T_i=T_j$, $T_i$ 即为最优解。这是因为 $S$ 以 $j-i$ 为循环节循环，而 $(i, j)$ 中任何整数都不是最优决策。
• 若 $T_i<T_j$, 说明 $[j, j+k]$ 内的整数不是最优决策，因为它总比 $[i, i+k]$ 内的对应决策劣，因此令 $j gets j+k+1$. 上述性质未改变。
• 若 $T_i>T_j$, 同理令 $i gets i+k+1$, 若此后 $i ge j$ 则再令 $j gets i+1$, 上述性质仍未改变。

当 $j ge |S|$ 时，我们发现 $[0, i)$ 和 $(i, |S|)$ 中的整数都不可能为最小决策了，所以 $T_i$ 是唯一的最优解；否则重复此过程。

$i+j+k le 3|S|$ 随枚举总次数递增，因此该算法时间 $O(|S|)$, 除去输入输出只需要 $O(1)$ 额外空间，是一个非常简短而高效的算法。

代码：$n$（$n le 3 imes10^5$）项整数序列的最小循环表示。

不过这份代码由于在OJ上刷常数榜，不仅加入了输入输出优化，还破环为链以节省取模的时间，空间略大。

#include <bits/stdc++.h>
char r[1<<25], *rc=r, w[1<<25], *wc=w;
int rd() {
    int a;
    bool b;
    unsigned char c;
    while(c=*rc++-48, c>9&c!=253);
    b=(c==253);
    for(a=b?0:c; (c=*rc++-48)<10; a=a*10+c);
    return b?-a:a;
}
void wr(int v) {
    char s[10], *p=s;
    while(*p++=v%10+48, v/=10);
    while(*wc++=*--p, p!=s);
}
const int N=3e5;
int n, x[2*N];
int main() {
    int i, j, k;
    fread(r, 1, 1<<25, stdin);
    n=rd();
    for(i=0; i<n; ++i) x[i]=rd();
    memcpy(x+n, x, n*sizeof(int));
    for(i=0, j=1, k=0; j<n&&k<n; ) {
        int xi=x[i+k], xj=x[j+k];
        if(xi==xj) ++k;
        else if(xi<xj) j+=k+1, k=0;
        else {
            i+=k+1, k=0;
            if(i>=j) j=i+1;
        }
    }
    for(k=0; k<n; ++k) wr(x[i+k]), *wc++=' ';
    wc[-1]='
';
    fwrite(w, 1, wc-w, stdout);
    return 0;
}