KM算法
设二分图的两部分点集分别为 $X={X_1, X_2, ldots, X_n}$ 和 $Y={Y_1, Y_2, ldots, Y_m}$, $left<X_i, Y_j ight>$ 的边权为 $w_{ij}$.
给两部分点集分别赋点权 ${A_i}, {B_i}$, 使得 $A_i+B_j ge w_{ij}$. 取等的边的生成子图叫做相等子图。那么相等子图的完美匹配就是最大权匹配。我们需要适当选取权值，使相等子图有完美匹配。
算法流程如下：
- 令 $X=emptyset$, $B_j=0$.
- 对于 $k=1, 2, ldots, n$:
- 在 $X$ 中加入 $X_k$, 取 $A_k=max{w_{kj}}$.
- 搜索一条从 $X_k$ 到 $Y$ 中未匹配点的交错路。
- 如果交错路存在：
- 修改匹配。
- 令 $k gets k+1$ 重复 $(2)$.
- 如果交错路不存在，记搜索树（此时叫做交错树 $M$）顶点集与 $X$ 的交为 $X'$, 与 $Y$ 的交为 $Y'$.
- 取 $d=min{A_i+B_j-w_{ij} mid X_i in X', left<X_i, Y_j ight> otin M}$.
- 将 $X'$ 中的所有点权减小 $d$, $Y'$ 中的所有点权增大 $d$. 此时 $A_i+B_j ge w_{ij}$ 仍然满足，交错树上的边仍然属于相等子图，且至少有一条与交错树相邻的相等子图中的边。
- 重复 $(2.2)$.
KM算法需要对每回修改后的子图重新搜索交错路，时间复杂度可达 $O(n^4)$.
优化
由于原交错树仍然是可用的，我们考虑不重新搜索交错路，而是在原交错树上直接扩展新边。
具体地，我们在加入 $X_k$ 的过程中，由 $X_k$ 开始扩展交错树。
对于每个 $Y'$ 中的点，记录它的父结点；对于 $Y_j in Y setminus Y'$, 我们维护 $slack_j=min{A_i+B_j-w_{ij} mid X_i in X'}$, 取得最小值的 $X_i$ 是它的准父结点（有多个任取一个）。
扩展的流程是：
- 取出 $d=min{slack_j}$. 特别地，当 $d=0$ 是就是继续沿原相等子图扩展。
- 将 $X'$ 中的所有点权减小 $d$, $Y'$ 中的所有点权增大 $d$, 相应地，所有 $slack$ 减去 $d$.
- 将 $slack_j$ 取得最小值的 $Y_j$（有多个任取一个）加入 $Y'$, $Y_j$ 的父结点就是原准父结点。
- 若所加入的 $Y_j$ 还未匹配，说明已经找到交错路，顺着从 $X_k$ 到 $Y_j$ 的路径匹配。
- 若所加入的 $Y_j$ 已经匹配，将其匹配点加入 $X'$, 更新 $Y'$ 中各点的 $slack$ 和准父结点，重复扩展流程。
在实现上，我们记 $match_j$ 表示 $Y_j$ 的匹配点，$pre_j$ 表示 $Y_j$ 的（准）父结点的匹配点，不存在记为 $0$.
示例代码
示例：假设 $n=m le 500$, 所有边权和答案绝对值小于 $10^{18}$. 输入 $n$ 和边权，输出 $Y_j$ 的匹配点。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 const int N=501; 3 int n, match[N]; 4 bool vis[N]; 5 long long f[N][N], a[N], b[N], slack[N], pre[N]; 6 template<class T1, class T2> bool cmin(T1 &a, const T2 &b) 7 { 8 return b<a?(a=b, true):false; 9 } 10 template<class T1, class T2> bool cmax(T1 &a, const T2 &b) 11 { 12 return a<b?(a=b, true):false; 13 } 14 int main() 15 { 16 scanf("%d", &n); 17 for(int i=1; i<=n; ++i) { 18 for(int j=1; j<=n; ++j) 19 scanf("%d", f[i]+j); 20 a[i]=*std::max_element(f[i]+1, f[i]+n+1); 21 } 22 for(int i=1; i<=n; ++i) { 23 int x=0, cho; 24 memset(vis+1, 0, n); 25 memset(pre+1, 0, n*sizeof(int)); 26 memset(slack+1, 63, n*sizeof(long long)); 27 match[0]=i; 28 do { 29 int u=match[x]; 30 long long min=1e18; 31 vis[x]=true; 32 for(int v=1; v<=n; ++v) { 33 if(!vis[v]) { 34 long long t=a[u]+b[v]-f[u][v]; 35 if(cmin(slack[v], t)) 36 pre[v]=x; 37 if(cmin(min, slack[v])) 38 cho=v; 39 } 40 } 41 for(int j=0; j<=n; ++j) { 42 if(vis[j]) { 43 a[match[j]]-=min; 44 b[j]+=min; 45 } else 46 slack[j]-=min; 47 } 48 x=cho; 49 } while(match[x]); 50 while(x) { 51 match[x]=match[pre[x]]; 52 x=pre[x]; 53 } 54 } 55 for(int i=1; i<=n; ++i) 56 printf("%d%c", match[i], " "[i==n]); 57 return 0; 58 }