BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

 

Source

分析：

首先注意一点就是phi[1]=1QAQ...

感觉和1D gcd sum也就是BZOJ 2705是差不多滴...

Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=m) gcd(i,j)  (假设n<=m)

=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=m) id(gcd(i,j))

=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=m) Σ(d|gcd(i,j)) φ(d)

=Σ(1<=d<=n) φ(d)*(n/d)*(m/d)

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;
//大鹏一日同风起，扶摇直上九万里 

const int maxn=100000+5;

int n,m,cnt,prime[maxn],vis[maxn],phi[maxn];

long long ans;

signed main(void){
    ans=0;cnt=0;phi[1]=1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    if(n>m)
        swap(n,m);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i,vis[i]=1,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
            }
            phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=(long long)phi[i]*(long long)(n/i)*(long long)(m/i);
    ans*=2,ans-=(long long)n*m;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

---

by NeighThorn