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  • BZOJ 4407: 于神之怒加强版

    4407: 于神之怒加强版

    Time Limit: 80 Sec  Memory Limit: 512 MB
    Submit: 560  Solved: 271
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    Description

    给下N,M,K.求
     

    Input

    输入有多组数据,输入数据的第一行两个正整数T,K,代表有T组数据,K的意义如上所示,下面第二行到第T+1行,每行为两个正整数N,M,其意义如上式所示。

    Output

    如题

    Sample Input

    1 2
    3 3

    Sample Output

    20

    HINT

    1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

    题解:JudgeOnline/upload/201603/4407.rar

    Source

    命题人:成都七中张耀楠,鸣谢excited上传。

    分析:

    定义$n<=m$...

    $sum _{i=1}^{n}sum _{i=1}^{m} gcd(i,j)^k$

    $=sum _{d=1}^{n} d^k sum _{x=1}^{n} mu (x) left lfloor frac{n}{xd} ight floor left lfloor frac{m}{xd} ight floor$

    令$y=xd$

    $sum _{d=1}^{n} d^k sum _{dmid y} mu (frac{y}{d}) left lfloor frac{n}{y} ight floor left lfloor frac{m}{y} ight floor$

    $=sum _{y=1}^{n} left lfloor frac{n}{y} ight floor left lfloor frac{m}{y} ight floor sum _{dmid y} mu( frac{y}{d} ) d^k$

    令$f(n)=sum _{dmid n} mu (frac{n}{d}) d^k$,可以通过线性筛线性求出$f(x)$...

    因为$f(x)$是一个积性函数,所以有以下转化:

    $f(n)=Pi _{i=1}^{t} f(p_i^{x_i})$

    $=Pi _{i=1}^{t} sum _{dmid p_i^{x_i}} mu (frac{p_i^{x_i}}{d}) d^k$

    因为当一个数含有平方因子的时候$mu (x)=0$,所以可以发现之后下面的两项是有用的...

    $=Pi _{i=1}^{t} mu (1) p_i^{x_i} +mu (p_i) p_i^{k(x_i-1)}$

    $=Pi _{i=1}^{t} p_i^{kx_i}-p_i^{k(x_i-1)}$

    $=Pi _{i=1}^{t} p_i^{k(x_i-1)}(p_i^k-1)$

    我们发现,当$p$是一个质数的时候,$f(p)=p^k-1$,所以我们可以得到一下等式:

    $f[x*p]=f[x]f[p]$   ---   $x$%$p eq 0$

    $f[x*p]=f[x]*p^k$ ---   $x$%$p = 0$

    就可以愉快地分块计算了...

    代码:

    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    //by NeighThorn 
    using namespace std;
    
    const int maxn=5000000+5,mod=1e9+7;
    
    int n,m,k,ans,cas,cnt,f[maxn],g[maxn],pri[maxn],vis[maxn];
    
    inline int power(int x,int y){
    	int res=1;
    	while(y){
    		if(y&1)
    			res=1LL*res*x%mod;
    		x=1LL*x*x%mod,y>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    
    signed main(void){
    	scanf("%d%d",&cas,&k);g[1]=1;
    	for(int i=2;i<=5000000;i++){
    		if(!vis[i])
    			pri[++cnt]=i,vis[i]=1,f[i]=power(i,k),g[i]=f[i]-1;
    		for(int j=1;j<=cnt&&1LL*i*pri[j]<=5000000;j++){
    			vis[i*pri[j]]=1;
    			if(i%pri[j]==0){
    				g[i*pri[j]]=1LL*g[i]*f[pri[j]]%mod;
    				break;
    			}
    			g[i*pri[j]]=1LL*g[i]*g[pri[j]]%mod;
    		}
    	}
    	for(int i=2;i<=5000000;i++)
    		g[i]=(g[i-1]+g[i])%mod;
    	while(cas--){
    		scanf("%d%d",&n,&m);ans=0;
    		if(n>m) swap(n,m);
    		for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){
    			r=min(n/(n/i),m/(m/i));
    			ans=(ans+1LL*(n/i)*(m/i)%mod*((g[r]-g[i-1]+mod)%mod)%mod)%mod;
    		}
    		printf("%d
    ",ans);
    	}
    	return 0;
    }
    

      


    By NeighThorn

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/neighthorn/p/6679807.html
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