线段树

    线段树与BST不同，它维护的是区间信息，树高越低，区间范围越大，而最后一层就是单点信息。线段树的价值于其维护的区间信息，如果不能有效利用，那么线段树就是一颗废树。

一、单点更新

线段树按照结点更新方式的不同，分为单点更新和成段更新。单点更新是线段树最简单的结构。通常由Push_Up, Build,Update,Query四个操作构成。其中Push_Up代码最简单，但却是线段树的核心，它负责区间信息的向上更新，换言之，如果设计不 出有效的Push_Up,那么线段树就是颗废树。

 

#include "iostream"
#include "string"
#include "vector"
#include "cstring"
#include "fstream"
#include "cstdio"
using namespace std;
#define M 50001
#define lson l,mid,root<<1
#define rson mid+1,r,root<<1|1
int sum[M<<2];
void PushUp(int root)
{
    sum[root]=sum[root<<1]+sum[root<<1|1];
}
void build(int l,int r,int root)
{
    if(l==r)
    {
        scanf("%d",&sum[root]);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(root);
}
void update(int p,int value,int l,int r,int root)
{
    if(l==r)
    {
        sum[root]=value;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(p<=mid) update(p,value,lson);
    else update(p,value,rson);
    PushUp(root);
}
int qurry(int L,int R,int l,int r,int root)
{
    if(L<=l&&r<=R) return sum[root];
    int mid=(l+r)>>1;
    int ret=0;
    if(L<=mid) ret+=qurry(L,R,lson);
    if(R>mid) ret+=qurry(L,R,rson);
    return ret;
}

上面的线段树风格来自Hdu的神犇NotOnlySuccess，他的那篇线段树总结写的很好，不过个人主页经常挂。orz。

线段树是大量数据时代，首先得抛弃使用cin的坏习惯。Windows下，不关sync的cin时间是scanf的10倍，关了也有2~3倍，100%会超时。Linux下关了sync的cin倒是比scanf快。

根据Push_Up操作，大致可以分为以下几类。

 

1. 区间求和

 sum[root]=sum[root<<1]+sum[root<<1|1]

 

@练习题

HDU 1166, 线段树求和模板题，更新之后查询即可。

XCOJ 1019, 阉割掉Update的线段树，其实用树状数组做更好。坑的地方是有重复点，要叠加。

2. 区间RMQ（范围最值查询）

RMQ[root]=max(RMQ[root<<1],RMQ[root<<1|1]);

@练习题

HDU 1754，线段树RMQ模板题，Query操作记得改下。

HDU 2795, 很有趣的一个题，利用的是RMQ的性质，去放东西。如果大小<=左子树区间最大值,那么就往左走。左子树放不了，再考虑右子树。亮点是Update和Query一体化，这也是非裸线段树的一大难点，一般我们认为这题是线段树首先看有没有明显Update、Query，但是这题藏得很隐蔽。

 

3. 区间覆盖（HASH）

 

特殊类问题，不需要Push_Up,但是依赖于离散数据结构。

@练习题

 

POJ 2828，排队插队问题。维护一个区间剩余容量。按顺序给出的是入队后的位置（可能原始位置，可能插过队)。我一开是顺序考虑，如果那个位置有人就把原来 的人后移，但是万一后面也有人呢？得整体后移，但是如果有空位的又不能整体后移，得把空位填掉，实在太麻烦。后来看题解，才明白应该逆序处理，逆序之后 update，只要不重叠，那就是最终位置。如果重叠，那就利用pos-左右区间剩余容量确定新的空位置，因为逆序，只要这个位置是空的，就是最终位置，不用考虑邻近点偏移了。维护（update）区间容量的时候，每次到一个区间都要-1（100%会插在这个区间）。由于逆序，要记录每次插的位置，最后顺序输出。

 

 

二、成段更新

成段更新的Update操作发生了变化，对指定L..R区间进行更新。由于点更新量可能是单点更新的几十倍，若对每个点采取自下而上的Push_Up,那么在Update超庞大情况下势必会完蛋。所以成段更新使用了Lazy思想，即暂时不更新，做个可以叠加更新的标记，到不得不更新的情况下再更新，不过这次是往下更新（上面已经被更新过了），这个操作称为Push_Down。 Lazy标记的使用使得线段树的结构异常复杂，尤其在有多个操作时（如加减乘除运算混合），因为其涉及到操作的合并问题，如何设计Lazy标记成为难点。

 

void build(int l,int r,int root)
{
    col[root]=-1; //多组数据，标记清除
}

void PushDown(int root,int m)
{
    if(col[root]!=-1)
    {
    col[root<<1]=col[root<<1|1]=col[root];
    sum[root<<1]=col[root]*(m-(m>>1));
    sum[root<<1|1]=col[root]*(m>>1);
    col[root]=-1;
    }
}

void update(int L,int R,int c,int l,int r,int root)
{
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        col[root]=c;
        sum[root]=c*(r-l+1);
        return;
    }
    PushDown(root,r-l+1);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) update(L,R,c,lson);
    if(R>mid) update(L,R,c,rson);
    PushUp(root);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int root)
{
    if(L<=l&&r<=R) return sum[root];
    PushDown(root,r-l+1); //这里的PushDown很重要
    //下同单点更新
}

 

1. 区间求和

@练习题

 

HDU 1698, 求和裸题，注意Push_Down和Update修改sum[root]的时候得算上整个区间。

POJ 3468，Lazy标记从覆盖变成了叠加，注意PushDown左右子标记的时候+=col[root]，而不是覆盖，对待sum也一样。

XCOJ 1025，安徽OI 09年省选题，加和乘两种优先级不同的运算符给这题的PushDown带来了巨大麻烦。全程的mod让人蛋疼。首先明确一点，乘法标记mul优先级大于加 法标记add，所以必然是sum[root]=sum[root]*mul[root]+add[root]*区间，更新add左右标记的时候，要先乘以 mul标记再加，更新mul标记则直接乘。mul标记重置是1，add标记重置是0

 

2. 区间覆盖（HASH）

 

@练习题

 

POJ2528, 首先得清楚常规线段树的叶子结点容量大概是10^6,这题达到了10^7,所以我们要将离散的区间“压缩”。

通俗点说，离散化就是压缩区间，使原有的长区间映射到新的短区间，但是区间压缩前后的覆盖关系不变。举个例子：

有一条1到10的数轴（长度为9），给定4个区间[2,4] [3,6] [8,10] [6,9]，覆盖关系就是后者覆盖前者，每个区间染色依次为 1 2 3 4。

现在我们抽取这4个区间的8个端点，2 4 3 6 8 10 6 9

然后删除相同的端点，这里相同的端点为6，则剩下2 4 3 6 8 10 9

对其升序排序，得2 3 4 6 8 9 10

然后建立映射

2     3     4     6     8     9   10

↓     ↓      ↓     ↓     ↓     ↓     ↓

1     2     3     4     5     6     7

那么新的4个区间为 [1,3] [2,4] [5,7] [4,6]，覆盖关系没有被改变。新数轴为1到7，即原数轴的长度从9压缩到6，显然构造[1,7]的线段树比构造[1,10]的线段树更省空间，搜索也更快，但是求解的结果却是一致的。

离散化时有一点必须要注意的，就是必须先剔除相同端点后再排序，这样可以减少参与排序元素的个数，节省时间。

压缩完区间后，按照每张海报的id对其区域编号修改（update）。但是在Query的时候，作出了很大修改。

void query(int *col,bool *Hash,int l,int r,int root)
{
    if (col[root])
    {
        if (!Hash[col[root]]) cnt++;
        Hash[col[root]] = true;
        return;
    }
    PushDown(col,root,r-l+1);
    if (l==r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    query(col,Hash,lson);
    query(col,Hash,rson);
}

注意这里利用线段树中保留的Lazy标记来HASH，首先你得明白，叶子结点必然保留着标记，但是如果只是对叶子结点HASH，那么线段树就没 有存在意义了。幸运的是，叶子结点上层存在着大量未被消除的线段Lazy标记，只要把这些标记用起来，我们就没必要下到每个叶子结点进行HASH了。这就 是线段树的神奇之处。