Lyndon Word相关

Lyndon Word

定义

对于字符串 (S)，若 (S) 的最小后缀为其本身，那么称 (S) 为 ( ext{Lyndon}) 串（( ext{Lyndon Word})）

即

[S in L Rightarrow egin{cases} S是严格最小循环 \ minsuf(s)=s end{cases} ]

性质

(Border(S)=varnothing)

推论

如果 (u,v in L, u prec vRightarrow uv in L)。

(mathcal{Proof.})

(1) s=u'v,u riangleleft u' Rightarrow uv < u'v)

(2) ext{to prove uv<v})

​ (2.1) u riangleleft v Rightarrow uv<v)

​ (2.2) u sqsubseteq v Rightarrow v=uv',v<v' Leftrightarrow uv<uv' Leftrightarrow uv<v)

(3) S=v',uv<v<v')

(Q.E.D.)

PS： ( riangleleft)：严格小于，且不是前缀，必有一个字母不同，(sqsubseteq)：前缀

(ex.) 如果 (u,vin L,u<v Rightarrow u^av^bin L)

显然。

Lyndon 分解 (Lyndon Factorization)

任意字符串 (s) 可以分解为 (s=s_1s_2s_3dots s_k)，其中 (s_i) 是 ( ext{Lyndon}) 串，(s_i ge s_{i+1})，且这种分解方法是唯一的。

(mathcal{Proof.})

先证存在性：

初始时每段一个字符，然后不断地将相邻两段 (s_i<s_{i+1}) 合并。

再证唯一性：

若有两种方案，取第一次不同的位置，设 (|s_i| > |s_i'|)，令 (s_i=s_i's_{i+1}' dots s_k'pre(s_{k+1}',l))，则

[s_i<pre(s_{k+1}',l)le s_{k+1}' le s_i' < s_i,矛盾 ]

性质

1. (s_k) 是最长的 ( ext{Lyndon suffix})
2. (s_1) 是最长的 ( ext{Lyndon prefix})
3. (s_k=minsuf(s))

(mathcal{Proof.})

画图比划一下，容易（是真的）证得。

Duval 算法

( ext{Duval}) 算法可以 (O(n)) 时间 (O(1)) 额外空间内求出 (s[1dots n]) 的 ( ext{Lyndon}) 分解。

即

[CFL(s)=s_1 s_2 dots s_k, s.t. egin{cases} 1. s_i in L \ 2. s_1 ge s_2 ge dots ge s_kend{cases} ]

(mathcal{Lemma.})

若字符串 (v) 和字符 (c) 满足 (vc) 是某个 ( ext{Lyndon}) 串的前缀，则对于字符 (d>c) 有 (vd) 是( ext{Lyndon}) 串。

也就是说，如果 (uav in L)，那么对于 ((uav)^kua')：

1. 如果 (a<a')，那么 ((uav)^kua' in L)

2. 如果 (a>a')，那么 (forall w,(uav)^kua'w otin L)

   (Rightarrow CFL[(uav)^kua'w]=(uav)^kCFL(ua'w))

因此，我们考虑下面这个算法过程：

用三个循环变量 (i,j,k) 维持一个循环不变式：

• (s[1 dots i-1] = s_1 s_2 cdots s_g) 是已经固定下来的分解，满足 (s_l) 是 ( ext{Lyndon}) 串，且 (s_l le s_{l+1})。
• (j-i) 是当前最长的 ( ext{Lyndon prefix}) 的长度，即 (s[j]) 是 (s[k]) 在 ( ext{Lyndon Prefix}) 中对应位置的字符。
• (k) 是当前读入的字符的位置。

然后对于当前读入的字符 (a)

• 若 (a>s[j])，则令直接令 (s[idots k]) 成为新的 ( ext{Lyndon Prefix})
• 若 (a=s[j])，无法切割出新的划分，继续读入
• 若 (a<s[j])，则递归求解，先分解完 (s[idots t]) ，即 ((uav)^k)，然后将指针指向 (t+1) 重新进行算法过程。

Code

int i, j, k;
for (i = 1; i <= N; ) {
	for (k = i, j = k + 1; j <= N && s[j] >= s[k]; ++j) {
		if (s[j] > s[k]) k = i;
		else ++k;
	}
	while (i <= k) { lyndon[++cnt] = i + j - k - 1; i += j - k; }
}

"Runs" Theorem

先丢一个论文链接：The" Runs" Theorem

Lyndon Array

再说。

[ZJOI2017] 字符串

Description

维护一个动态字符串 (s[1dots n])，字符串的字符集是所有 (|x|le 10^9) 的整数。要求支持两个操作：

1. 输入 (l,r,d)，对于所有 (lle i le r)，将 (s[i]) 修改为 (s[i]+d)，注意 (d) 可能是负数。
2. 输入 (l,r)，输出子串 s([ldots r]) 的字典序最小的后缀的起点位置。即，如果最小后缀是 (s[pdots r],(lle ple r))，请输出 (p)。

Solution