[BZOJ 4809] 相逢是问候

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Solution:

以前没见过的套路题……

1、使用EXT欧拉定理降幂的套路：

$a^{x}=a^{xmodphi(P)+phi(P)} mod P$，且$xge P$

这样对于$c^{c^{c^x}}modP$就能递推/递归得套用上述定理计算，每层模数多套一层$phi$即可

注意每次在快速幂时要判断当前指数是否大于当前模数才能用EXT！

2、能证明一个数最多求$log$次$phi$就会变成1

这样在$log$次内暴力更新，否则不管，就能保证$O(n*log^3)$

3、复杂度中的3个$log$分别是：

更新$log$次，每次更新迭代$log$层，每层要算一次快速幂

明显只能优化快速幂。由于底不变，模数只有$log$种，想到分数的前后两部分预处理！

分块预处理出$[1,(1<<16)]$和$[1*(1<<16),(1<<16)*(1<<16)]$的答案以及与模数的大小关系

这样每次拆出指数的前16位和后16位$O(1)$计算答案和大小关系就能做到$O(n*log^2)$

4、听说原题数据锅了……

虽然$phi(2)$和$phi(1)$都为1，但要更新到$phi(1)$！

否则在最顶层指数为0时最终会迭代出$cmod2$而非$cmod1$，不一定为0！

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=1e5+10;
ll pre[35][1<<16][2];
bool f[35][1<<16][2];
int n,m,p,c,dat[MAXN],phi[35],cnt;

int getphi(int x)
{
    int ret=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    if(x!=1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll MOD,bool &f)
{
    ll ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD)
    {
        //判断是否大于某个数两个地方都要判！ 
        if(b&1) f|=(ret*a>=MOD),ret=ret*a%MOD;
        f|=(a*a>=MOD&&b!=1);
    }
    return ret;
}
int QP(int x,int num,bool &flag)
{
    int a=x&((1<<16)-1),b=x>>16;
    ll ret=1ll*pre[num][a][0]*pre[num][b][1];
    flag=f[num][a][0]|f[num][b][1]|(ret>=phi[num]);
    return ret%phi[num];
}
int cal(int x,int st)
{
    int ret=x;
    if(ret>=phi[st])
        ret=ret%phi[st]+phi[st];
    while(st--)
    {
        bool f=0;
        ret=QP(ret,st,f);
        //注意特判，仅在指数>模数时可使用EXT欧拉定理 
        if(f&&st) ret+=phi[st];
    }
    return ret%p;
}
void PRE()
{
    //分块预处理 
    for(int i=0;i<=cnt;i++)
    {
        pre[i][0][0]=pre[i][0][1]=1;
        if(phi[i]==1) f[i][0][0]=f[i][0][1]=1;
        pre[i][1][0]=quick_pow(c,1,phi[i],f[i][1][0]);
        int tmp=pre[i][1][1]=quick_pow(c,1<<16,phi[i],f[i][1][1]);
        
        for(int j=2;j<1<<16;j++)
        {
            f[i][j][0]=f[i][j-1][0]|(pre[i][j-1][0]*c>=phi[i]);
            pre[i][j][0]=pre[i][j-1][0]*c%phi[i];
            f[i][j][1]=f[i][j-1][1]|(pre[i][j-1][1]*tmp>=phi[i]);
            pre[i][j][1]=pre[i][j-1][1]*tmp%phi[i];
        }
    }
}

namespace SegmentTree
{
    #define mid ((l+r)>>1)
    #define ls k<<1
    #define rs k<<1|1
    #define lc ls,l,mid
    #define rc rs,mid+1,r
    
    int sum[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
    void pushup(int k)
    {
        tag[k]=min(tag[ls],tag[rs]);
        sum[k]=(sum[ls]+sum[rs])%p;
    }
    void build(int k,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {sum[k]=dat[l]%p;tag[k]=0;return;}
        build(lc);build(rc);pushup(k);
    }
    void modify(int a,int b,int k,int l,int r)
    {
        if(tag[k]>=cnt) return;
        if(l==r)
        {sum[k]=cal(dat[l],++tag[k]);return;}
        if(a<=mid) modify(a,b,lc);
        if(b>mid) modify(a,b,rc);
        pushup(k);
    }
    int query(int a,int b,int k,int l,int r)
    {
        if(a<=l&&r<=b) return sum[k];
        int ret=0;
        if(a<=mid) (ret+=query(a,b,lc))%=p;
        if(b>mid) (ret+=query(a,b,rc))%=p;
        return ret;
    }    
}
using namespace SegmentTree;

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&dat[i]);
    phi[0]=p;
    while(phi[cnt]!=1) 
        cnt++,phi[cnt]=getphi(phi[cnt-1]);
    //要迭代到phi(1)=1，而不能仅迭代到phi(2)=1
    //否则在x=0时最后一层会出现c%2 
    phi[++cnt]=1;PRE();
    
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        int op,l,r;
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(!op) modify(l,r,1,1,n);
        else printf("%d
",query(l,r,1,1,n));
    }
    return 0;
}