[BZOJ 1566] 管道取珠

Link：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566

Solution：

思路十分精奇的一道题目

题目要求的是$sum_{i=1}^k a_i^2$

明显发现$a_i$是难以求解的，于是考虑如何整体处理$a_i^2$

由于$a_i^2=a_i*a_i$， 

因此$a_i^2$可以认为是第一人选出的方案数$a_i$乘上第二人选出的方案数$a_i$

那么只要统计两人选择相同序列的情况数即可

设dp[i][j][k]为取i个字符，两人在上方取到j，k个字符时相同的方案数

接下来再用滚动数组优化下转移就好了

Code：

//by NewErA
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
const int MOD=1024523;
 
const int MAXN=510;

int n,m,dp[2][MAXN][MAXN],up[MAXN],down[MAXN],t=0;
char s1[MAXN],s2[MAXN];
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    scanf("%s",s1);scanf("%s",s2);  
    for (int i=0;i<n;i++)  
        up[n-i]=s1[i]-'A';  
    for (int i=0;i<m;i++)  
        down[m-i]=s2[i]-'A'; 
    dp[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<n+m;i++,t^=1)
        for(int j=0;j<=min(n,i);j++)
            for(int k=0;k<=min(n,i);k++)
                if(dp[t][j][k])
                {
                    int temp=dp[t][j][k];
                    if(j<n && k<n && up[j+1]==up[k+1]) (dp[t^1][j+1][k+1]+=temp)%=MOD;
                    if(j<n && i-k<m && up[j+1]==down[i-k+1]) (dp[t^1][j+1][k]+=temp)%=MOD;
                    if(i-j<m && k<n && down[i-j+1]==up[k+1]) (dp[t^1][j][k+1]+=temp)%=MOD;
                    if(i-j<m && i-k<m && down[i-j+1]==down[i-k+1]) (dp[t^1][j][k]+=temp)%=MOD;
                    dp[t][j][k]=0;
                }
    cout << dp[t][n][n];
    return 0;
}

Review：

1、如果要求解某难以求解之数的多次幂时，

考虑将多次幂转化为降次的其它问题求解

（二次幂转化为两个一次问题的结果相乘）

2、对DP的优化：

如果为同时求解两个同样问题的DP，维护步数和即可，由$O(n^4)$降到$O(n^3)$

如果每次只用到上一层结果，使用滚动数组优化空间