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Template(Updating)

1、Splay

(Tyvj1728)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN=1e5+10,INF=1<<30;
int n,op,x,root,ch[MAXN][2],sz[MAXN],cnt[MAXN],val[MAXN],f[MAXN],tot=0;

void pushup(int x)
{sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];}

void Rotate(int x)
{
    int y=f[x],z=f[y],k=(x==ch[y][1]);
    ch[z][y==ch[z][1]]=x;f[x]=z;
    ch[y][k]=ch[x][k^1];f[ch[x][k^1]]=y;
    ch[x][k^1]=y;f[y]=x;
    pushup(x);pushup(y);
}

void Splay(int x,int up)
{
    while(f[x]!=up)
    {
        int y=f[x],z=f[y];
        if(z!=up) (ch[y][0]==x)^(ch[z][0]==y)?Rotate(x):Rotate(y);
        Rotate(x);
    }
    if(!up) root=x;
}

void Insert(int x)
{
    int k=root,anc=0;
    while(k&&x!=val[k])
        anc=k,k=ch[k][x>val[k]];
    
    if(k) cnt[k]++;
    else
    {
        k=++tot;
        if(anc) ch[anc][x>val[anc]]=k;
        ch[k][0]=ch[k][1]=0;
        val[k]=x;cnt[k]=1;sz[k]=1;f[k]=anc;
    }
    Splay(k,0);
}

void Find(int x)
{
    int k=root;
    if(!k) return;
    while(ch[k][x>val[k]]&&x!=val[k])
        k=ch[k][x>val[k]];
    Splay(k,0);
}

int Next(int x,int flag)
{
    Find(x);
    int k=root;
    if((val[k]<x&&!flag)||(val[k]>x&&flag)) return k;
    
    k=ch[k][flag];
    while(ch[k][flag^1]) k=ch[k][flag^1];
    
    return k;
}

int Kth(int x)
{
    int k=root;
    if(sz[k]<x) return 0;
    while(true)
    {
        if(x>sz[ch[k][0]]+cnt[k])
            x-=sz[ch[k][0]]+cnt[k],k=ch[k][1];
        else if(sz[ch[k][0]]>=x)
            k=ch[k][0];
        else return val[k];
    }
}

void Delete(int x)
{
    int lst=Next(x,0),nxt=Next(x,1);
    Splay(lst,0);Splay(nxt,lst);
    
    if(cnt[ch[nxt][0]]>1)
        cnt[ch[nxt][0]]--,Splay(ch[nxt][0],0);
    else ch[nxt][0]=0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Insert(INF);Insert(-INF);//记得先插入边界 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op==1) Insert(x);
        else if(op==2) Delete(x);
        else if(op==3) Find(x),printf("%d
",sz[ch[root][0]]);
        else if(op==4) printf("%d
",Kth(x+1));
        else if(op==5) printf("%d
",val[Next(x,0)]);
        else if(op==6) printf("%d
",val[Next(x,1)]);
    }
    return 0;
}

Splay

Tip:由于采取求前驱后继来删除节点的方式，要先$insert(INF)$和$insert(-INF)$

2、Treap

(Tyvj1728)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN=100005;
const int INF=1<<27;
int cnt=0,root,n,s[MAXN][2],siz[MAXN],val[MAXN],pri[MAXN];

void update(int i)
{siz[i]=siz[s[i][0]]+siz[s[i][1]]+1;}

void spin(int &i,int f)
{
    int v=s[i][f^1];
    s[i][f^1]=s[v][f];s[v][f]=i;
    update(i);update(i=v);
}

void ins(int &i,int k)
{
    if(!i){i=++cnt;siz[i]=1;val[i]=k;pri[i]=rand();return;}
    
    siz[i]++;
    if(val[i]>=k){ins(s[i][0],k);if(pri[i]>pri[s[i][0]]) spin(i,1);}
    else{ins(s[i][1],k);if(pri[i]>pri[s[i][1]]) spin(i,0);}
}

int pre(int i,int k)
{
    if(!i) return -INF;
    if(val[i]<k) return max(val[i],pre(s[i][1],k));
    else return pre(s[i][0],k);
}

int nxt(int i,int k)
{
    if(!i) return INF;
    if(val[i]>k) return min(val[i],nxt(s[i][0],k));
    else return nxt(s[i][1],k);
}

int find_key(int i,int k)
{
    if(siz[s[i][0]]==k-1) return val[i];
    if(siz[s[i][0]]>=k) return find_key(s[i][0],k);
    return find_key(s[i][1],k-siz[s[i][0]]-1);
}

int find_rank(int i,int k)
{
    if(!i) return 1;
    if(val[i]>=k) return find_rank(s[i][0],k);
    return siz[s[i][0]]+1+find_rank(s[i][1],k);
}

void del(int &i,int k)
{
    if(val[i]==k)
    {
        if(s[i][0]*s[i][1]==0)
        {
            i=s[i][0]+s[i][1];
            return;
        }
        if(pri[s[i][0]]<pri[s[i][1]]) spin(i,1),del(s[i][1],k);
        else spin(i,0),del(s[i][0],k);
    }
    else if(val[i]>=k) del(s[i][0],k);
    else del(s[i][1],k);
    update(i);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);srand(time(NULL));
    while(n--)
    {
        int op,x;scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op==1) ins(root,x);
        else if(op==2) del(root,x);
        else if(op==3) printf("%d
",find_rank(root,x));
        else if(op==4) printf("%d
",find_key(root,x));
        else if(op==5) printf("%d
",pre(root,x));
        else printf("%d
",nxt(root,x));
    }
    return 0;
}

Treap

Tip:注意递归边界

3、计算几何模板

我现在发现了我在计算几何方面就是个sillycross

在这里总结一下基本模块吧，

（使用complex<double>模板类）

点乘：

double dot(point a,point b){return real(a*conj(b));}

叉乘：

double det(point a,point b){return imag(a*conj(b));}

判断点x是否在线段[L,R]上：

bool on_seg(point x,point L,point R){return det(L-x,R-x)==0 && dot(L-x,R-x)<=0;}

判断三点是否在一条直线 + L,R是否在x的两侧

判断两线段是否相交（非严格）：

bool seg_cross(point a,point b,point c,point d)
{
    double s1=det(c-a,b-a)*det(b-a,d-a);
    double s2=det(a-c,d-c)*det(d-c,b-c);
    if(s1<0 || s2<0) return false;
    if(s1==0 && s2==0) return on_seg(c,a,b) || on_seg(d,a,b);
    return true; 
}

对于每个点判断另一线段的两点是否在其两端 + 对一条线段的端点恰在另一线段上的特殊处理

求点x关于线段[A,B]的对称点：

point sym(point x,point A,point B){return 2*dot(A,B)/dot(B,B)*B-A+x;}

将线段[x,A]延长一倍，求出线段[x,x']的向量，再行加减即可

4、FFT

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=3e6+10;
struct Complex
{
    db x,y;
    Complex(db a=0,db b=0){x=a;y=b;}
    Complex operator + (const Complex& rhs)
    {return Complex(x+rhs.x,y+rhs.y);}
    Complex operator - (const Complex& rhs)
    {return Complex(x-rhs.x,y-rhs.y);}
    Complex operator * (const Complex& rhs)
    {return Complex(x*rhs.x-y*rhs.y,x*rhs.y+y*rhs.x);}
}a[MAXN],b[MAXN];
int n,m,lmt=1,dgt,par[MAXN];

void FFT(Complex *a,int flag)
{
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        if(i<par[i]) swap(a[i],a[par[i]]);
    
    for(int len=1;len<lmt;len<<=1)
    {
        Complex unit(cos(M_PI/len),flag*sin(M_PI/len));
        for(int st=0;st<lmt;st+=(len<<1))
        {
            Complex w(1,0);
            for(int k=st;k<st+len;k++,w=w*unit)
            {
                Complex A=a[k],B=w*a[k+len];
                a[k]=A+B;a[k+len]=A-B;
            }
        }
    }
    if(flag==-1)
        for(int i=0;i<=n+m;i++)
            a[i].x=floor(a[i].x/lmt+0.5);
}

int main()
{    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);
    while(lmt<=n+m) lmt<<=1,dgt++;
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        par[i]=(par[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dgt-1));    
    
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(int i=0;i<lmt;i++) 
        a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for(int i=0;i<=n+m;i++) 
        printf("%d ",(int)a[i].x);
    return 0;
}

FFT

5、NTT

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=4e6+10,MOD=998244353;
ll n,m,a[MAXN],b[MAXN],dgt,lmt=1,par[MAXN];

ll quick_pow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD)
        if(b&1) ret=ret*a%MOD;
    return ret;
}
void FFT(ll *a,int flag)
{
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        if(i<par[i]) swap(a[i],a[par[i]]);
    for(int len=1;len<lmt;len<<=1)
    {
        ll unit=quick_pow(3,(MOD-1)/(len<<1));
        if(flag==-1) unit=quick_pow(unit,MOD-2);
        for(int st=0;st<lmt;st+=(len<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int k=st;k<st+len;k++,w=w*unit%MOD)
            {
                ll A=a[k],B=w*a[k+len]%MOD;
                a[k]=(A+B)%MOD;a[k+len]=(A-B+MOD)%MOD;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",&b[i]);
    while(lmt<=n+m) lmt<<=1,dgt++;
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        par[i]=(par[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dgt-1));
    
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        (a[i]*=b[i])%=MOD;
    FFT(a,-1);
    ll inv=quick_pow(lmt,MOD-2);
    for(int i=0;i<=n+m;i++)
        printf("%lld ",a[i]*inv%MOD);
    return 0;
}

NTT

6、MTT

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=4e5+10;
ll p[]={469762049,998244353,1004535809};
int n,m,MOD,F[MAXN],G[MAXN],dgt,lmt=1;
ll a[3][MAXN],b[MAXN],res[MAXN],par[MAXN];

ll quickpow(ll a,ll b,ll MOD)
{
    a%=MOD;ll ret=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%MOD)
        if(b&1) ret=ret*a%MOD;
    return ret;
}
ll mul(ll a,ll b,ll MOD)
{
    a=(a%MOD+MOD)%MOD;
    b=(b%MOD+MOD)%MOD;ll ret=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%MOD)
        if(b&1) (ret+=a)%=MOD;
    return ret;
}
ll inv(ll a,ll MOD)
{return quickpow(a,MOD-2,MOD);}
void FFT(ll *a,int flag,ll MOD)
{
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        if(i<par[i]) swap(a[i],a[par[i]]);
    for(int len=1;len<lmt;len<<=1)
    {
        ll unit=quickpow(3,(MOD-1)/(len<<1),MOD);
        if(flag==-1) unit=inv(unit,MOD);
        for(int st=0;st<lmt;st+=(len<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int k=st;k<st+len;k++,w=w*unit%MOD)
            {
                ll A=a[k],B=w*a[k+len]%MOD;
                a[k]=(A+B)%MOD;a[k+len]=(A-B+MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    if(flag==-1)
    {
        ll INV=inv(lmt,MOD);
        for(int i=0;i<lmt;i++)
            a[i]=a[i]*INV%MOD;
    }
}
void solve(ll *a,ll *b,ll MOD)
{
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=F[i];
    for(int i=0;i<=m;i++) b[i]=G[i];
    for(int i=m+1;i<lmt;i++) b[i]=0;
    FFT(a,1,MOD);FFT(b,1,MOD);
    for(int i=0;i<lmt;i++) a[i]=a[i]*b[i]%MOD;
    FFT(a,-1,MOD);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&F[i]);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&G[i]);
    while(lmt<=n+m) lmt<<=1,dgt++;
    for(int i=0;i<lmt;i++) par[i]=(par[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dgt-1));
    
    for(int i=0;i<3;i++) solve(a[i],b,p[i]);
    for(int i=0;i<=n+m;i++)
    {
        ll M=p[0]*p[1];
        ll A=(mul(a[0][i]*p[1],inv(p[1],p[0]),M)+
             mul(a[1][i]*p[0],inv(p[0],p[1]),M))%M;
        ll K=mul(a[2][i]-A,inv(M,p[2]),p[2]);
        res[i]=(mul(K,M,MOD)+A%MOD)%MOD;
    }
    for(int i=0;i<=n+m;i++)
        printf("%lld ",res[i]);
    return 0;
}

CRT写法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=1e6+10;
struct Complex
{
    db x,y;
    Complex(db a=0,db b=0){x=a;y=b;}
    Complex operator +(const Complex& rhs)
    {return Complex(x+rhs.x,y+rhs.y);}
    Complex operator -(const Complex& rhs)
    {return Complex(x-rhs.x,y-rhs.y);}
    Complex operator *(const Complex& rhs)
    {return Complex(x*rhs.x-y*rhs.y,x*rhs.y+y*rhs.x);}
}a[MAXN],b[MAXN],w[MAXN],t1[MAXN],t2[MAXN],t3[MAXN];
int n,m,MOD,lmt=1,dgt,par[MAXN];ll x,res[MAXN];

void FFT(Complex *a,int flag)
{
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        if(i<par[i]) swap(a[i],a[par[i]]);
    for(int len=1;len<lmt;len<<=1)
        for(int st=0;st<lmt;st+=(len<<1))
        {
            int cur=0;
            for(int k=st;k<st+len;k++)
            {
                Complex A=a[k],B=w[cur]*a[k+len];
                a[k]=A+B;a[k+len]=A-B;
                //预处理的写法 
                cur=(cur+flag*lmt/(len<<1)+lmt)&(lmt-1);
            }
        }
    if(flag==-1)
        for(int i=0;i<lmt;i++)
            a[i].x=floor(a[i].x/lmt+0.5);
}
void solve()
{
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(int i=0;i<lmt;i++)
    {
        Complex d1,d2,d3,d4;
        int j=(lmt-i)&(lmt-1);
        d1=(a[i]+Complex(a[j].x,-a[j].y))*Complex(0.5,0);
        d2=(a[i]-Complex(a[j].x,-a[j].y))*Complex(0,-0.5);
        d3=(b[i]+Complex(b[j].x,-b[j].y))*Complex(0.5,0);
        d4=(b[i]-Complex(b[j].x,-b[j].y))*Complex(0,-0.5);
        //必须先用临时变量存，因为后面还要用 
        t1[i]=d1*d3;t2[i]=d1*d4+d2*d3;t3[i]=d2*d4;
    }
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        //充分利用虚部空间（可看成逆过程） 
        b[i]=t2[i],a[i]=t1[i]+t3[i]*Complex(0,1);
    FFT(a,-1);FFT(b,-1);
    for(int i=0;i<lmt;i++)
    {
        ll k1=(ll)a[i].x%MOD,k2=(ll)b[i].x%MOD;
        ll k3=(ll)floor(a[i].y/lmt+0.5)%MOD;
        res[i]=((k3<<30)%MOD+(k2<<15)%MOD+k1)%MOD;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&x),a[i]=Complex(x&32767,x>>15);
    for(int i=0;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&x),b[i]=Complex(x&32767,x>>15);
    while(lmt<=n+m) lmt<<=1,dgt++;
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        par[i]=(par[i>>1]>>1)|((i&1)<<(dgt-1));
    for(int i=0;i<lmt;i++)
        w[i]=Complex(cos(2*M_PI*i/lmt),sin(2*M_PI*i/lmt));
    
    solve();
    for(int i=0;i<=n+m;i++)
        printf("%lld ",res[i]);
    return 0;
}

拆系数4次DFT/IDFT

实测$myy$论文里拆系数优化至4次$DFT/IDFT$的方法比三模数$CRT$快7倍左右

7、SA

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int MAXN=1e6+10;
char s[MAXN];
int len,lmt,cnt[MAXN],sa[MAXN],x[MAXN],y[MAXN],cur;

void solve()
{
    for(int i=1;i<=len;i++)
        cnt[x[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=lmt;i++)
        cnt[i]+=cnt[i-1];
    for(int i=len;i>=1;i--)
        sa[cnt[x[i]]--]=i;
    
    for(int k=1;k<=len;k<<=1,lmt=cur)
    {
        cur=0;
        for(int i=len-k+1;i<=len;i++)
            y[++cur]=i;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            if(sa[i]>k) y[++cur]=sa[i]-k;
        
        for(int i=1;i<=lmt;i++) cnt[i]=0;
        for(int i=1;i<=len;i++) cnt[x[i]]++;
        for(int i=1;i<=lmt;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
        //一定要按第二关键字从大往小枚举！ 
        for(int i=len;i>=1;i--)
            sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i];
        
        swap(x,y);cur=1;x[sa[1]]=1;
        for(int i=2;i<=len;i++)
            x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?cur:++cur;
        if(cur==len) break;
    }
}

int main()
{
    scanf("%s",s+1);
    len=strlen(s+1);lmt=130;
    solve();
    for(int i=1;i<=len;i++)
        printf("%d ",sa[i]);
    return 0;
}

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