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  • 欧几里得、扩展欧几里得

    什么是GCD
    GCD是最大公约数的简称(当然理解为我们伟大的党也未尝不可)。在开头,我们先下几个定义:
    ①a|b表示a能整除b(a是b的约数)
    ②a mod b表示a-[a/b]b([a/b]在Pascal中相当于a div b)
    ③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数
    ④a和b的线性组合表示ax+by(x,y为整数)。我们有:若d|a且d|b,则d|ax+by(这很重要!)

    线性组合与GCD
    现在我们证明一个重要的定理:gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。
    证明:
    设gcd(a,b)为d,a和b的最小的正线性组合为s
    ∵d|a且d|b,
    ∴d|s。
    而a mod s=a-[a/s]s
             =a-[a/s](ax+by)
             =a(1-[a/s]x)-b[a/s]y
    亦为a和b的线性组合
    ∵a mod s<s,a mod s不能是a和b的最小的正线性组合
    ∴a mod s=0,即s|a
    同理由s|b
    ∴s为a,b的公约数
    ∴s<=d
    ∵d|s
    ∴d=s。证毕。

    由这条定理易推知:若d|a且d|b,则d|gcd(a,b)

    Euclid算法
    现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。穷举明显不是一个好方法(O(n)),所以需要一个更好的方法。
    首先我们先提出一个定理:gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)(x为正整数)。

    证明:
    设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
    ∵d|a,d|b
    ∴d|a-bx
    ∴d|gcd(b,a-bx),即d|e
    ∵e|b,e|a-bx
    ∴e|bx+(a-bx),即e|a
    ∴e|gcd(a,b),即e|d
    ∴d=e。证毕。

    这个定理非常有用,因为它能快速地降低数据规模。
    当x=1时,gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。这就是辗转相减法。
    当x达到最大时,即x=[a/b]时,gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。这个就是Euclid算法。它是不是Euclid提出的我不知道,但听说是在Euclid时代形成的,所以就叫Euclid算法了。程序非常的简单:

    function Euclid(a,b:longint):longint;
     begin
      if b=0 then exit(a)
             else exit(Euclid(b,a mod b));
     end;

    Euclid算法比辗转相减法好,不仅好在速度快,而且用起来也方便。两种算法都有一个隐含的限制:a>=b。用辗转相减法时,必须先判断大小,而Euclid算法不然。若a<b,则一次递归就会转为gcd(b,a),接着就能正常运行了。

    扩展Euclid
    前面我们说过,gcd(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。现在我们就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。这个可以利用我们的Euclid算法。
    从最简单的情况开始。当b=0时,我们取x=1,y=0。当b≠0时呢?
    假设gcd(a,b)=d,则gcd(b,a mod b)=d。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx'+(a mod b)y',则
    gcd(a,b)=d
            =bx'+(a mod b)y'
            =bx'+(a-[a/b]b)y'
            =ay'+b(x'-[a/b]y')
    那么,x=y',y=x'-[a/b]y'。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和y。

    程序:
    function gcd(a,b:longint):longint;
     var p,n,m:longint;
     begin
      if b=0 then
       begin
        x:=1;
        y:=0;
        exit(a);
       end
      else
       begin
        p:=gcd(b,a mod b);
        n:=x;
        m:=y;
        x:=m;
        y:=n-a div b*m;
        exit(p);
       end;
     end;

    我们现在还有一个问题:x,y是不是确定的?答案:不是。如果x,y符合要求,那么x+bk,y-ak也符合要求。不确定的原因在于这一句:“当b=0时,我们取x=1,y=0。”实际上y可以取任何正整数。

    不定方程ax+by=c
    现在终于到了本文重点:解二元一次不定方程。看起来扩展Euclid算法是不定方程的一种特殊情况,实际上呢,不定方程却是用Euclid算法解的。
    对 于不定方程ax+by=c,设gcd(a,b)=d,如果ax+by=c有解,则d|c(这也是许多奥数题的切入点)。所以一旦d不是c的约数,那么 ax+by=c一定无解。当d|c时,先求出ax'+by'=d=gcd(a,b)的x'和y',则x=x'*c/d,y=y'*c/d。由上一段可知, 只要ax+by=c有一个解,它就有无数个解。
    Euclid算法还可以求解同余方程ax≡b(mod m)。这其实和不定方程ax+my=b没有区别。(不定方程和同余方程一般都有范围限制,这其实也很容易解决,就不说了)

    其他
    初等数论中最基础的就是GCD以及其相关问题了。实际上,更深层次的初等数论还包括:
    中国剩余定理
    Miller-Rabin素性测试
    pollard rho算法 

    Jollwish原创,转载请说明出处

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