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  • [剑指offer] 8+9. 跳台阶+变态跳台阶 (递归 时间复杂度)

    跳台阶是斐波那契数列的一个典型应用,其思路如下:

    # -*- coding:utf-8 -*-
    class Solution:
        def __init__(self):
            self.value=[0]*50
        def jumpFloor(self, number):
            # write code here
            self.value[0]=1
            self.value[1]=2
            for i in range(2,number):
                self.value[i]=self.value[i-1]+self.value[i-2]
            return self.value[number-1]

    这里为了避免递归的低效率,采用数组遍历的方式。 时间复杂度依旧为O(n).

    仔细观察‘变态跳台阶’,其思路其实和‘跳台阶很类似’,如下:

    f(1) = 1    //n = 1时,只有1种跳法,f(1) = 1

    f(2) = 2        //n = 2时,会有两个跳得方式,一次1阶或者2阶

    n>=3时: 

    f(3) = f(1) + f(2) + 1   //最后的1表示3阶一次跳3阶的一种方法

    ...

    f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1  

    # -*- coding:utf-8 -*-
    class Solution:
        def __init__(self):
            self.value=[0]*50
        def jumpFloorII(self, number):
            # write code here
            if number==0:
                return -1
            self.value[0]=1
            self.value[1]=2
            for i in range(2,number):
                m=0
                while m<=i-1:    #注意这里从f(1)+....+f(n-1)的条件
                    self.value[i]+=self.value[m]
                    m+=1
                self.value[i]+=1   
            return self.value[number-1]

     但是上述方法其实还可以简化:

        由上我们已经得到:  f(n) = f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1) + 1  

        设 f(0) = 1,则上述可变为: f(n) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)

       同时也有: f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) +  ... + f(n-3) + f(n-2)  代入上式有: f(n) = 2*f(n-1)

       前提 f(0)=1(但是没有0阶台阶的,这只是用来推导,没有实际意义), f(1)=1, 可以得到:

       f(2)=2, f(3)=4, f(4)=8, f(5)=16....

    从而得出最终结论,在n阶台阶,一次有1、2、...n阶的跳的方式时,总得跳法为:

                  | 1       ,(n=0 ) 

    f(n) =     | 1       ,(n=1 )

                  | 2*f(n-1),(n>=2)
    class Solution:
        def __init__(self):
            self.value=[0]*50
        def jumpFloor(self, number):
            # write code here
            if number==0:
                return -1
            self.value[0]=1  #没有0阶台阶
            self.value[1]=1
            for i in range(2,number+1):
                self.value[i]=2*self.value[i-1]
            return self.value[number]
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