一、最大子列和问题
给定(N)个整数的序列({A_1,A_2,dots,A_N})，求函数(f(i,j)=max{0,sum_{k=I}^jA_K})的最大值。
序列中有多个子列，我们需要从中找出子列和最大的子列。
1.1 算法1-暴力破解
/* c语言实现 */
int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, j;
for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */
for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */
ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for(k=i; k<=j; k++)
ThisSum += A[k];
if(ThisSum > MaxSum) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
} /* j循环结束 */
} /* i循环结束 */
return MaxSum;
}
# python语言实现
def max_subseq_sum1(arr: list, n: int):
max_sum = 0
for i in range(n):
for j in range(i, n):
this_sum = 0
for k in range(i, j):
this_sum += arr[k]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
时间复杂度：
[T(n) = O(N^3)
]
当我们知道(i-j)的和之后，没必要从头开始加，对于k的循环是多余的。
1.2 算法2-适当优化
/* c语言实现 */
int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, j;
for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */
ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */
ThisSum += A[k];
/* 对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可 */
if(ThisSum > MaxSum) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
} /* j循环结束 */
} /* i循环结束 */
return MaxSum;
}
# python语言实现
def max_subseq_sum2(arr: list, n: int):
max_sum = 0
for i in range(n):
this_sum = 0
for j in range(i, n):
this_sum += arr[k]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
时间复杂度：
[T(n) = O(N^2)
]
一个专业的程序猿，设计了一个(O(N^2))的算法，应该本能的想到是否能把他改进为(O(Nlog_N))的算法。
1.3 算法3-分而治之
先把数组从中间一分为二，递归的解决左半部分的问题，得到左边的最大子列和；递归的解决右半部分的问题，得到右边的最大子列和；解决跨越中间的最大子列和，从三者中取出最大的子列和，即为解。
时间复杂度：
[egin{align}
T(n) & = 2T(N/2)+cN,\,quad{T}(1)=O(1) \
& = ext{注意$T(n)$和$T(N/2)$的转换关系}\
& = 2[2T(N/2^2)+cN/2]+cN \
& = 2^kO(1)+ckNquad ext{其中$N/2^k=1$，即$k=log_2N$} \
& = O(NlogN)
end{align}
]
1.4 算法4-在线处理
由于连续子列和出现负数，往后加数字只会让后面的数字越来越大，因此可以提前让子列和归零。
“在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正确给出当前的解。
/* c语言实现 */
int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum;
int i;
ThisSum = MaxSum = 0;
for(i=0; i<N; i++){
ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
if(ThisSum > MaxSum)
MaxSum = ThisSUm; /* 发现更大和则更新当前结果 */
else if(ThisSum < 0) /* 如果当前子列和为负 */
ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之 */
}
return MaxSum;
}
# python语言实现
def max_subseq_sum4(arr: list, n: int):
this_sum = max_sum = 0
for i in range(n):
this_sum += arr[i]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
elif this_sum < 0:
this_sum = 0
时间复杂度：
[T(N) = O(N)
]
由于时间复杂度较快，所以对于其他人理解是很困难的。
二、算法运行时间比较
