A-03 牛顿法和拟牛顿法

目录

• 牛顿法和拟牛顿法
• 一、牛顿法详解
  • 1.1 无约束最优化问题
  • 1.2 牛顿法迭代公式
  • 1.3 牛顿法和梯度下降法
• 二、牛顿法流程
  • 2.1 输入
  • 2.2 输出
  • 2.3 流程
• 三、拟牛顿法简介

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牛顿法和拟牛顿法

牛顿法(Newton method)和拟牛顿法(quasi-Newton method)和梯度下降法一样也是求解最优化问题的常用方法，但是他们的收敛速度比梯度下降法快。牛顿法是迭代算法，每一步都需要求目标函数的海森矩阵的逆矩阵，计算复杂；拟牛顿法通过正定矩阵近似海森矩阵的逆矩阵，简化这个计算过程。

一、牛顿法详解

1.1 无约束最优化问题

对于一个约束问题

[underbrace{min}_{xin{R^n}}f(x) ]

其中(x^*)为目标函数的极小点。

1.2 牛顿法迭代公式

假设(f(x))具有二阶连续偏导数，如果第(k)次迭代值为(x^{(k)})，则可以把(f(x))在(x^{(k)})附近使用二阶泰勒展开

[f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})+frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)}) ]

其中(g_k=g(x^{(k)})= abla{f(x^{(k)})})是(f(x))的梯度向量在点(x^{(k)})的值，(H(x^{(k)}))是(f(x))的海森矩阵

[H(x)=[frac{partial^2f}{partial{x_i}partial{x_j}}]_{m*n} ]

在点(x^{(k)})的值。函数(f(x))有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0。特别是当(H(x^{(k)}))是正定矩阵的时候，函数(f(x))的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件

[ abla{f(x)}=0 ]

每次迭代中从点(x^{(k)})开始，求目标函数的极小点，作为第(k+1)次迭代值(x^{(k+1)})，即假设(x^{(k+1)})满足

[ abla{f(x^{(k+1)}}=0 ]

通过泰勒二阶展开式即可得

[ abla{f(x)}=g_k+H_k(x-x^{(k)}) ]

其中(H_k=H(x^{(k)}))，由此( abla{f(x^{(k+1)}}=0)变成

[g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)}) = 0 ]

因此

[x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k ]

或

[x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k ]

其中

[egin{align} & x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k=x^{(k)}+p_k \ & -H_k^{-1}g_k=p_k \ & H_kp_k=-g_k end{align} ]

使用(x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k)作为迭代公式的算法就是牛顿法。

1.3 牛顿法和梯度下降法

从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。

虽然牛顿法看起来比梯度下降法好很多，但是别忘记了牛顿法迭代过程中需要计算海森矩阵的逆矩阵，如果数据量较大的话，牛顿法的计算开销将远远大于梯度下降法。

二、牛顿法流程

2.1 输入

目标函数(f(x))，梯度(g(x)= abla{f(x)})，海森矩阵(H(x))，精度要求(epsilon)

2.2 输出

(f(x))的极小点(x^*)

2.3 流程

1. 取初始点(x^{(0)})，并且让(k=0)
2. 计算(g_k=g(x^{(k)}))
3. 如果(||g_k||leqepsilon)，停止计算，得到近似解(x^*=x^{(k)})
4. 计算(H_k=H(x^{(k)}))，并求出(p_k)

[H_kp_k=-g_k ]

5. 让(x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k)
6. 让(k=k+1)，转到第2步

在第4步求(p_k)的时候，(p_k=-H_k^{-1}g_k)，要求求海森矩阵的逆矩阵(H_k^{-1})，计算会比较复杂。

三、拟牛顿法简介

在牛顿法的迭代中，需要计算海森矩阵的逆矩阵(H^{-1})，这个过程是比较复杂的，而拟牛顿法则使用了一个(n)阶矩阵(G_k=G(x^{(k)}))近似替代(H_k^{-1}=H^{-1}(x^{(k)}))，此处不多赘述。