1.4：降维

PCA

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是最常用的一种降维方法，通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。

目标 

PCA可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能保留原始数据的信息。

相关术语

• 方差
• 协方差
• 协方差矩阵
• 特征向量和特征值

 原理

矩阵的主成分就是其协方差矩阵对应的特征向量，按照对应的特征值大小进行排序，最大的特征值就是第一主成分，其次是第二主成分，以此类推。

推导过程详见周志华《机器学习》。

sklearn.decomposition.PCA

主要参数

• n_components：指定主成分的个数，即降维后数据的维度
• svd_solver ：设置特征值分解的方法，默认为‘auto’,其他可选有‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’。（可参考官网API，此处不详述）

应用：PCA实现高维数据可视化

目标

已知鸢尾花数据是4维的，共三类样本。使用PCA实现对鸢尾花数据进行降维，实现在二维平面上的可视化。

 实例程序编写

 

 

 

 1 import matplotlib.pyplot as plt
 2 from sklearn.decomposition import PCA
 3 from sklearn.datasets import load_iris
 4  
 5 data = load_iris()
 6 y = data.target
 7 X = data.data
 8 pca = PCA(n_components=2)
 9 reduced_X = pca.fit_transform(X)
10  
11 red_x, red_y = [], []
12 blue_x, blue_y = [], []
13 green_x, green_y = [], []
14  
15 for i in range(len(reduced_X)):
16     if y[i] == 0:
17         red_x.append(reduced_X[i][0])
18         red_y.append(reduced_X[i][1])
19     elif y[i] == 1:
20         blue_x.append(reduced_X[i][0])
21         blue_y.append(reduced_X[i][1])
22     else:
23         green_x.append(reduced_X[i][0])
24         green_y.append(reduced_X[i][1])
25  
26 plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
27 plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='D')
28 plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='.')
29 plt.show()

NMF

非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization ，NMF）是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法。NMF能够广泛应用于图像分析、文本挖掘和语音处理等领域。

基本思想：给定一个非负矩阵V，NMF能够找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，使得矩阵W和H的乘积近似等于矩阵V中的值。 

 

 目标

第一种：最小化W矩阵H矩阵的乘积和原始矩阵之间的差别，目标函数如下： 

 本公式基于欧式距离

第二种：基于KL散度的优化目标，损失函数如下：

 

 W和H的求法，严格来说，是它们的迭代算法。本课程不作详述，具体参考链接：

sklearn.decomposition.NMF

主要参数有：

• n_components：用于指定分解后矩阵的单个维度k；
• init：W矩阵和H矩阵的初始化方式，默认为‘nndsvdar’。其它参数参考官网API进行学习。

 应用：NMF人脸数据特征提取

目标

已知Olivetti人脸数据共400个，每个数据是64*64大小。由于NMF分解得到的W矩阵相当于从原始矩阵中提取的特征，那么就可以使用NMF对400个人脸数据进行特征提取。

 

 实例程序编写

 

 

 

from numpy.random import RandomState
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces
from sklearn import decomposition
 
 
n_row, n_col = 2, 3
n_components = n_row * n_col
image_shape = (64, 64)
 
 
###############################################################################
# Load faces data
dataset = fetch_olivetti_faces(shuffle=True, random_state=RandomState(0))
faces = dataset.data
 
###############################################################################
def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row):
    plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row)) 
    plt.suptitle(title, size=16)
 
    for i, comp in enumerate(images):
        plt.subplot(n_row, n_col, i + 1)
        vmax = max(comp.max(), -comp.min())
 
        plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=plt.cm.gray,
                   interpolation='nearest', vmin=-vmax, vmax=vmax)
        plt.xticks(())
        plt.yticks(())
    plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.94, 0.04, 0.)
 
     
plot_gallery("First centered Olivetti faces", faces[:n_components])
###############################################################################
 
estimators = [
    ('Eigenfaces - PCA using randomized SVD',
         decomposition.PCA(n_components=6,whiten=True)),
 
    ('Non-negative components - NMF',
         decomposition.NMF(n_components=6, init='nndsvda', tol=5e-3))
]
 
###############################################################################
 
for name, estimator in estimators:
    print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name))
    print(faces.shape)
    estimator.fit(faces)
    components_ = estimator.components_
    plot_gallery(name, components_[:n_components])
 
plt.show()