数值分析/基础

基础

多项式计算

改变多项式的运算顺序，有利于提高计算效率

数字计算机对微小误差会放大，导致计算存在不可靠的风险，本课程目的即是懂得避免并降低这种风险

如果可能，尽量避免很接近的数相减，比如重构表达式，避免相近数的相减

嵌套乘法

嵌套乘法又叫Horner方法，matlab中用nest函数计算

一般形式如下：

[c_1 + (x-r_1)(c_2+(x-r2)(c_3+(x-r_3)(c_4+(x-r_4)(c_5)))) ]

其中：(r_1, r_2, r_3, r_4) 称为基点

nest(次数,[系数],求值点,[基点])
nest(4,[-1 5 -3 3 2],1/2,[0 0 0 0])

其中：基点可以省略，求值点也可以是数组来同时求多组数据

二进制数

二进制数表示

[...b_2 imes 2^2 +b_1 imes 2^1 + b_0 imes 2^0 + b_{-1} imes 2^{-1}+b_{-2} imes2^{-2}... ]

实数的浮点表示

浮点格式

IEEE标准由符合、尾数、阶这三部分组成，形式如下：

[pm 1.bbbb..b imes 2^p ]

由于正规化要求最前面的数是1.

常见精度如下：

精度	符号	阶	尾数
单	1	8	23
双	1	11	52
长双	1	15	64

定义

机器 (varepsilon) 表示1 与大于 1 的最小浮点数之间的差，记为 (varepsilon_{mach}) ,对于IEEE的double标准来说：

[varepsilon_{mach} = 2^{-52} ]

由于机器2进制计数，导致对于有些数不能精确表示，我们可用断位法或舍入法来处理。

最近舍入规则

double类型，二进制数第53位是0，则舍去，否则就进位1到第52位。

误差

绝对误差和相对误差

[绝对误差 = |x_c -x|qquad 相对误差= frac{|x_c-x|}{|x|}quad 其中：x_c 是准确值x的计算结果 ]

相对舍入误差

在IEEE标准下，相对舍入误差 (f(x))不大于机器 (varepsilon) 的一半

[frac{|f(x)-x|}{|x|} leq frac{1}{2}varepsilon_{mach} ]

微积分回顾

定理

介值定理 : 设(f) 是区间 ([a,b]) 上的一个连续函数，那么 (f) 能取到$ f(a)$ 和 (f(b)) 之间的任何一个值。

也就是说存在 (y) 且$f(a) le y le f(b) $ 则存在一个数 (c) 使得 (f(c) = y) 。

连续函数的极限： 设 (f) 是在 (x_0) 的某一个领域内的连续函数，且 $lim_{n oinfty}x_n = x_0 $，那么：

[lim_{n o infty}f(x_n) = f(lim_{n o infty }x_n)= f(x_0) ]

中值定理： 设(f) 是区间 ([a,b]) 上的一个连续可微函数，那么在 (a) 和 (b) 之间存在一个数 (c) ，使得：

[f'(c) = frac{f(b)-f(a)}{b-a} ]

Rolle定理： 设(f) 是区间 ([a,b]) 上的一个连续可微函数，并假设 (f(a) = f(b))，那么在 (a) 和 (b) 之间存在一个数 (c) ，使得 (f'(c)=0)

带余项的Taylor公式： 设 (x) 和 (x_0) 是实数，(f) 在区间 ([x_0,x]) 上 (k+1) 次连续可微，那么在 (x) 和 (x_0) 之间存在一个数 (c) ，使得：

[f(x) = f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0)+frac{(x-x_0)^2}{2!}f''(x_0)+frac{(x-x_0)^3}{3!}f'''(x_0)+...+\ frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+frac{(x-x_0)^{(k+1)}}{(k+1)!}f^{(k+1)}(c) ]

或者：

[f(Delta x+x_0) = f(x_0)+f'(x_0)Delta x +frac{f''(x_0)}{2!}Delta x^2+frac{f'''(x_0)}{3!}Delta x^3 +...+frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}Delta x^k+frac{f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}Delta x^{k+1} ]

积分形式的中值定理： 设(f) 是区间 ([a,b]) 上的一个连续函数，(g) 是可积函数，并且在 ([a,b]) 上不变号，那么在 ([a,b]) 内存在一个数 (c) ，使得：

[int_a^b f(x)g(x)dx=f(c)int_a^b g(x) dx ]