题意
设(f_i)表示(i)个点的无向连通图个数,(g_i)表示(i)个点的无向图个数。
枚举(1)所在连通块的大小,有:
(g_i=sumlimits_{j=1}^iC_{i-1}^{j-1}f_jg_{i-j})
化简得:
(g_i=sumlimits_{j=1}^ifrac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}f_jg_{i-j})
(frac{g_i}{(i-1)!}=sumlimits_{j=1}^ifrac{f_j}{(j-1)!}frac{g_{i-j}}{(i-j)!})
设(f'_i=frac{f_i}{(i-1)!},g'_i=frac{g_i}{(i-1)!},h_i=frac{g_i}{i!})
那么上面的式子就是:
(g'equiv f'*hpmod{x^{n+1}})
(f'equiv g'*h^{-1}pmod{x^{n+1}})
多项式求逆即可。
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=520010;
const ll mod=1004535809;
const ll G=3;
const ll invG=334845270;
int n,lim,len;
int pos[maxn];
ll f[maxn],g[maxn],h[maxn],invh[maxn],tmp[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline ll power(ll x,ll k)
{
ll res=1;
while(k)
{
if(k&1)res=res*x%mod;
x=x*x%mod;k>>=1;
}
return res;
}
inline void NTT(ll* a,int op)
{
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int l=1;l<lim;l<<=1)
{
ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
{
ll w=1;
for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
{
int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(op==1)return;
ll inv=power(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
void getinv(ll* a,ll* b,int n)
{
if(n==1){b[0]=power(a[0],mod-2);return;}
getinv(a,b,(n+1)>>1);
lim=1,len=0;
while(lim<(n<<1))lim<<=1,len++;
for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i=0;i<n;i++)tmp[i]=a[i];
for(int i=n;i<lim;i++)tmp[i]=0;
NTT(tmp,1);NTT(b,1);
for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=((2ll-b[i]*tmp[i]%mod)%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
NTT(b,-1);
for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=0;
}int main()
{
scanf("%d",&n);
fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=power(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)h[i]=power(2,1ll*i*(i-1)/2)*inv[i]%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=i*h[i]%mod;
getinv(h,invh,n+1);
lim=1,len=0;
while(lim<=(n<<1))lim<<=1,len++;
for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
NTT(g,1);NTT(invh,1);
for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=g[i]*invh[i]%mod;
NTT(f,-1);
printf("%lld",f[n]*fac[n-1]%mod);
return 0;
}