算法君：小白同学，给你出道算法题，看你小子算法能力有没有长进。
算法小白：最近一直在研究算法，刷了很多算法题，正好活动活动大脑，来来来，赶快出题！
算法君：听好了，题目是：求一个字符串中最长的回文字符串。
算法小白：这个算法好像很简单，就是有一个概念不太明白，啥叫“回文字符串”。
算法君：哈哈，你说的很简单，一定是题目的字数很少的意思。
算法小白：哦，又被老大猜中了。还是先给我讲一下什么是回文字符串吧！
算法君：回文字符串吗！首先是一个字符串（废话），然后，核心就是回文。“回”吗，就是来来回回的意思。其实就是正向和反向遍历字符串中的每一个字符，然后嘛，如果遍历的结果都一样，就是回文字符串。例如，有一个字符串abcba，无论正向遍历，还是反向遍历，结果都是abcba，如果还不清楚，可以看下图。
算法小白：太好了，我终于知道什么叫回文字符串了，现在可以做这道题了。只要正向和反向分别遍历一遍字符串，然后比较一下结果，如果两次遍历的结果相同，就是回文字符串，哈哈哈，对吗？老大。
算法君：着什么急，你看清题目了吗？不是让你判断是否为回文字符串，是要在一个字符串中寻找最长回文字符串，例如，akbubk是一个字符串，这里边有很多回文字符串，其实单个字母就是一个回文字符串，还有就是bub、kbubk，很显然，最长的回文字符串就是kbubk。
算法小白：懂了，懂了，题目还要一个条件，就是要找到所有回文字符串中最长的一个。
算法君：真懂了吗？ 好吧，说说你怎么设计这个算法。
算法小白：我只用了0.01秒，就想到如何设计了，当然是得到字符串中的所有子串，然后找到所有的回文字符串，最后，当然是对这些回文字符串按长度排序，并找到最大的回文字符串了。哈哈哈，我聪明吗！！！
算法君：Are you crazy？（此时的算法君内心一定是有一万匹草泥马跑过，气得都飙英文了），这么做当然没错，但.....，效率太低了。这要是字符串长点，是要去租用超级计算机运行算法程序吗？
算法小白：不好意思啊，我只想到了这种算法，反正能实现就行呗，管它效率怎样呢！
算法君：设计算法可不光是实现就行，要注重效率、效率、还是效率，重要的事情说三遍。这才能真正体现出算法之美，否则，直接用最笨的方法谁都会。
算法小白：那么老大有什么更好的实现吗？
算法君：当然，我作为老大，自然是肚子里有货了，先给你讲一种效率较高的算法。
算法君：要优化一个算法，首先要知道原来的算法哪里效率低了。就拿前面给出的字符串akbubk来说。u、bub和kbubk都是回文字符串，我们前面说了，判断回文字符串就是要分别正向和反向遍历一遍字符串，然后比较遍历结果，如果结果相同，就是回文字符串。对于单个字符，直接就是回文字符串，对于bub来说，按常规的判断方法，需要正向循环3次（得到正向字符串），反向循环3次（得到反向字符串）。一共6次才能判断该字符串是否为回文字符串（不过正向可以省略了，因为就用字符串本身就可以了），而对于kbubk来说，需要遍历10次才可以。
算法君：这是按常规的做法。但是，我们仔细观察，bub和u的关系，u是包含在bub中的，而且u肯定是回文字符串，所以以u为轴，只要判断该字符串的首字符与尾字符是否相等即可。也就是说，这样一来，就只需要比较一次（首字符和尾字符进行比较）就可以了，效率大大提升。
算法小白：好像是有点明白了。
算法君：别急别急，我还没说完呢！如果感觉bub和u的关系太简单，可以再看一下bub和kbubk的关系。bub是包含在kbubk中的，如果按常规的做法，bub正反遍历两次判断是否为回文字符串，而kbubk同样需要遍历两次，但对于kbubk来说，遍历的这两次，是包含bub的两次遍历的，也就是说，这里重复遍历了。这就是我们应该优化的地方：避免重复遍历字符串。
算法小白：真是醍醐灌顶啊，那么如何避免重复遍历字符串呢？
算法君：当然是保存历史了，我们是怎么知道秦皇汉武、唐宗宋祖的，不就是通过历史书吗？咱们又没见过这几位老哥，对不！
算法小白：保存历史？让我来猜一猜，是不是将已经确认的回文字符串保存起来呢，如果下次再遇到这些已经确认的回文字符串，就不需要再进行遍历了，直接取结果就行了！
算法君：算你小子聪明一回，没错，是要将已经确认的回文字符串保存起来，但并不是保存回文字符串本身。而是要保存字符串是否为回文的结果。还拿kbubk为例，我们可以将kbubk看成3部分，首字符k是一部分，尾字符k是一部分，中间的子字符串bub是一部分，如下图所示。
算法君：对于这个特例来说，bub是回文字符串。而寻找akbubk中最长回文字符串的过程中，肯定是从长度为1的子字符串开始搜索，然后是长度为2的字符串，以此类推，所以bub一定比kbubk先搜索到，所以需要将bub是回文字符串的结果保存起来，如果要判断kbubk是否为回文字符串，只需要经过如下2步就可以了：
1. 判断首尾两个字符是否相同
2. 判断夹在首尾字符中间的子字符串是否为回文字符串
算法君：如果这两步的结果都是yes，那么这个字符串就是回文字符串，将该模型泛化，如下图所示。
算法小白：这下彻底明白了，不过应该如何保存历史呢？设计算法和实现算法还是有一定差别的，这就是理论派和实践派的差距，中间差了一个特斯拉的距离。
算法君：哈哈，理论与实践是有差别的，但好像也没那么大。其实理论与实践很多时候是相辅相成的。
算法小白：快快，给我讲讲到底如何保存历史，给我一架从理论到实践的梯子吧！
算法君：梯子！没有，我这有一壶凉水，浇下去就灌顶了！
算法小白：别逗了，赶快说说！
算法君：要想确定如何保存历史记录，首先要确定如何获取这些数据，然后再根据获取的方式确定具体的数据结构。我们期望知道字符串中任意的子串是否是回文字符串，这个子串的第一个字符在原字符串中的索引是i，最后一个字符在原字符串中的索引是j。所以我们期望有一个函数is_palindrome_string，通过将i和j作为参数传入该函数，如果i和j确定的字符串是回文，返回true，否则返回false。
算法小白：老大的意思是说将i和j作为查询历史记录的key吗？
算法君：没错，这次终于说对了一回。下面就看is_palindrome_string函数如何实现了！
算法小白：我想想啊，那么如何实现这个is_palindrome_string函数呢？通过key搜索是否为回文的历史记录，也就是搜索value，在Python中字典可以实现这个功能。用字典可以吗？
算法君：字典算是一种实现，你想想用字典具体应该如何实现呢？
算法小白：这个我知道，Python我已经很熟悉了。可以将i和j作为一个列表，然后作为字典的key，不不不，该用元组，Python中是不支持将列表作为字典的key的。
例如：history_record = {(1,1):True, (1,3):False}
算法小白：然后通过元组(i,j)查询历史，例如，要想知道索引从1到3的子串是否为回文字符串，只需要搜索history_record即可，代码如下：
history_record[(1,3)]
算法君：没错，这算是一种存储历史的方法，不过搜索字典仍然需要时间，尽管时间不是线性的。想想还有没有更快的定位历史记录的方法呢？
算法小白：快速定位？..... 这个，比字典还快，难道是用魔法吗？ 哈哈哈！这个还真一时想不出。
算法君：其实在数据结构中，已经清楚地阐述了最快定位的数据结构，这就是数组，由于数组是在内存中的一块连续空间，所以可以根据偏移量瞬间定位到特定的位置。
算法小白：嗯，数组我当然知道，不过如何用数组来保存回文字符串的历史呢？
算法君：前面提到的is_palindrome_string函数有两个参数i和j。i和j是字符串中某一个字符的索引，从0开始，取值范围都是0 <= i,j < n（这里假设字符串的长度是n），其实这也符合二维数组的索引取值规则。假设有一个n*n的正方形二维数组P（每个元素初始值都是0）。如果从i到j的字符串是回文字符串，那么就将P[i,j]设为1，如果要知道从i到j的字符串是否为回文字符串，也只需要查询P[i,j]即可。
算法君：举个具体的例子，有一个字符串acxxcd，要求该字符串的最大回文字符串，可以创建如下图的6*6的二维数组，初始化为0。
然后将长度为1的字符串标记为回文字符串（主对角线上），如P[0,0],P[1,1]等。
接下来将长度为2 的字符串是回文的做一下标记，也就是两个字符相等的字符串，这里只有一个，那就是xx，也就是P[2,3]。如下图所示。
在字符串acxxcd中，并没有长度为3的回文字符串，所以直接搜索长度为4的回文字符串，如果搜索长度为4的字符串，按着前面的描述，先要判断首尾字符是否相等，如果相等，再判断夹在中间的字符串是否为回文字符串，夹在中间的字符串的长度肯定是2，所以可以直接在这个二维数组上定位。例如，搜索到cxxc，首尾字符都是c，中间的xx在二维数组中的坐标是P[2,3]，这个位置刚刚在前面设置为1，所以xx是回文字符串，从而判定cxxc是回文字符串。而cxxc在整个字符串中首尾字符的位置是（1,4)，所以需要将P[1,4]设置为1，如下图所示。
继续扫描长度为5的回文字符串（不存在），然后是长度为6的回文字符串（不存在），所以这个唯一的长度为4的回文字符串就是acxxcd的最长回文字符串。
算法君：这种算法还有一个名字：动态规划法
算法小白：哈哈，还可以这么做。又学了一招！！老大就是老大！
算法君：不过这种存储方案也有缺点，就是比较浪费内存空间，因为需要额外申请n*n的数组空间。另外，你能说出这个算法的时间复杂度和空间复杂度吗？
算法小白：复杂度？我想想，所谓复杂度就是值随着算法输入数据的多少，时间和空间的变化关系吧。如是线性变化的，那么时间复杂度就是O(n)。
算法君：是的，可以这么理解。那么这个算法的复杂度是多少呢？
算法小白：由于该算法需要申请n*n的数组，所以空间复杂度应该是O(n^2），对于每一个字符串，都需要从长度为1的回文字符串开始搜索，需要双重循环，所以时间复杂度也是O(n^2）。
算法君：嗯，这回说得没错，那么还有什么更好的算法可以降低空间复杂度吗？例如，将空间复杂度降为O(1)，也就是不需要申请额外的内存空间。
算法小白：我现在已经用脑过度了，这个要回去好好考虑下。感谢老大耐心讲解。
算法君：好吧，回去多想想还有没有更好的算法。下面给出一个具体的算法实现（Python语言）。
#动态规划法求最长回文字符串的完整代码 class MaxPalindromeString: def __init__(self): self.start_index = None self.array_len = None def get_longest_palindrome(self,s): if s == None: return size = len(s) if size < 1: return self.start_index = 0 self.array_len = 1 # 用于保存历史记录（size * size) history_record = [([0] * size) for i in range(size)] # 初始化长度为1的回文字符串信息 i= 0 while i< size: history_record[i][i] = 1 i += 1 # 初始化长度为2的回文字符串信息 i = 0 while i < size - 1: if s[i] == s[i+1]: history_record[i][i+1] = 1 self.start_index = i self.array_len = 2 i += 1 # 查找从长度为3开始的回文字符串 p_len = 3 while p_len <= size: i = 0 while i < size-p_len + 1: j = i + p_len-1 if s[i] == s[j] and history_record[i+1][j-1] == 1: history_record[i][j] = 1 self.start_index = i self.array_len = p_len i += 1 p_len += 1 s = 'abcdefgfedxyz' s1 = 'akbubk' p = MaxPalindromeString() p.get_longest_palindrome(s1) if p.start_index != -1 and p.array_len != -1: print('最长回文字符串：',s1[p.start_index:p.start_index + p.array_len]) else: print('查找失败')
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