【信号与系统】基础：定义、连续和离散、功率和能量、功率信号和能量信号

信号和系统的定义

信号（signal）的定义：在数学上表示为，若干个独立变量的函数。

系统（system）的定义：在数学上表示为，将输入信号映射为输出信号的变换。

这个定义很棒，因为可以把我已知的一些代数知识联系上去。

首先，函数、映射、变换在我脑海中都是一个东西在不同背景的叫法。

由于函数满足了加法和标量乘法的封闭性，符合向量空间的定义，因此这里信号所表示的函数，以含一个独立变量为例，其实可以理解为是一个无限维的向量（可以想象每隔一段微小距离就取一个函数值）。

那么系统所做的工作，也就是把输入向量，转换为另一个输出向量。这个工作，基本上可以想象为一种坐标系变换，或者是一个施加变换的动作。如果是有限维的向量，如果这种变换是线性的，显然就是一个矩阵形式。

总之，信号就是一个映射，系统是一个对映射的映射。

当然这个定义之下有一些工程背景，比如信号函数值可能表示某些物理量，它的因变量可以表示时间、空间等。

这里面有两个背景我比较喜欢，语音信号（speech signal）和图像（image）。

语音信号是对时间的函数。

图像是对两个空间变量（长、宽）的函数。

连续时间信号与离散时间信号

首先，依照惯例，含一个自变量的信号，都把这个自变量看做是时间 t。

这里有一个连续时间信号（Continuous-Time Signal, CTS）和离散时间信号（Discrete-Time Signal, DTS）的概念。区分的特性是信号的自变量是连续还是离散的。

其实这两个概念的划分是非常自然的。

信号是一个函数，而连续函数往往出现在自然界和人的头脑中，只要放在计算机上面，都有一个将连续函数离散化的过程。因此，凡是在自然界或人脑中表达，那么常常是连续时间信号；凡是在计算机上表达，往往是离散时间信号。

有一些约定，对于 CTS，表示为 f(t)；而对于 DTS，表示为 f[n]。前者像数学表达式，后者像数组。

信号功率和能量

功率（energy）和能量（energy）类似于密度和质量的关系，也类似于。

能量其实就是信号在定义域里的一种积分形式，CTS 的能量定义为：

其中 |·| 表示取模运算，确保函数值大于等于 0。即对于复数 a+bi 有：

而对应的 DTS 的能量定义从积分变为求和：

这两种形式还可以用极限表示，于是最后 CTS 和 DTS 的能量定义为：

 

能量对于时间取平均，就有了功率的概念： 

 

关于能量和功率的定义，引出了信号的三种分类：

1. 能量有限，此时功率必然等于 0。这种信号称为能量信号（energy signal）。
2. 能量无限大，功率有限。这种信号称为功率信号（power signal）。
3. 能量无限大，功率无限大。 

参考

• Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab S H. Señales y sistemas[M]. Pearson Educación, 1998.
• Rao K D, Tunga S. Signals and systems[M]. Birkhäuser, 2018.