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  • Bellman-Ford&&spfa(判负环)

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    题意有n个农场,m条双向路径u,v,t表示从u农场到v农场要花t时间,w个虫洞u,v,t,表示从u穿越到v时间倒流t。
    问从任意一点出发,再回到出发点,能否在出发前时间到达出发点(时间倒流)。

    解法Bellman-Ford算法(O(VE))
    算法核心对所有边进行V-1次松弛操作,每一次松弛操作最少确定一点到源点的最短路径,所以最多v-1次可求出所有点到源点的最短路径。最少一次就可以确定所有点的最短路径,即一条链依次更新。
    判负环:如果存在负权环,则不存在最短路径。可以一直进行松弛操作。所以第V次对所有边进行松弛时,可以判断是否存在负环。

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    //#include<bits/stdc++.h>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <stdio.h>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <map>
    #include <set>
    #include <string.h>
    #include <vector>
    #include <stdlib.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll ;
    #define int ll
    #define mod 100
    #define gcd(m,n) __gcd(m, n)
    #define rep(i , j , n) for(int i = j ; i <= n ; i++)
    #define red(i , n , j)  for(int i = n ; i >= j ; i--)
    #define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
    //int lcm(int a , int b){return a*b/gcd(a,b);}
    //ll quickpow(ll a , ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;b>>=1,a=a*a%mod;}return ans;}
    //int euler1(int x){int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){ans-=ans/i;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)ans-=ans/x;return ans;}
    //const int N = 1e7+9; int vis[n],prime[n],phi[N];int euler2(int n){ME(vis,true);int len=1;rep(i,2,n){if(vis[i]){prime[len++]=i,phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<len&&prime[j]*i<=n;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];}}}return len}
    #define INF  0x3f3f3f3f
    #define PI acos(-1)
    #define pii pair<int,int>
    #define fi first
    #define se second
    #define lson l,mid,root<<1
    #define rson mid+1,r,root<<1|1
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define all(v) v.begin(),v.end()
    #define size(v) (int)(v.size())
    #define cin(x) scanf("%lld" , &x);
    const int N = 1e4+9;
    const int maxn = 5e2+9;
    const double esp = 1e-6;
    int dis[maxn] , ans;
     int n , m , q ;
    struct node{
        int u , v , w;
    }edge[N];
    
    bool Bellman_Ford(int u){
        fill(dis , dis+maxn , INF);
        dis[u] = 0 ;
        rep(i , 1 , n-1){
            int flag = 1 ;
            rep(j , 1 , ans){
                if(dis[edge[j].u] + edge[j].w < dis[edge[j].v]){
                    dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].w;
                    flag = 0 ;
                }
            }
            if(flag) break;//表明所有最短路径已经确定没有可松弛操作
        }
        rep(i , 1 , ans){
            if(dis[edge[i].u] + edge[i].w < dis[edge[i].v]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    void init(){
        ans = 0 ;
    }
    
    void solve(){
        init();
         scanf("%lld%lld%lld" , &n , &m , &q);
         rep(i , 1 , m){
             int u , v , w ;
             scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v , &w);
             edge[++ans].u = u , edge[ans].v = v ;
             edge[ans].w = w ;
             edge[++ans].u = v , edge[ans].v = u ;
             edge[ans].w = w ;
         }
         rep(i , 1 , q){
             int u , v , w ;
             scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v , &w);
              edge[++ans].u = u , edge[ans].v = v ;
              edge[ans].w = -w ;
         }
         if(Bellman_Ford(1)){
             cout << "NO" << endl;
         }else{
             cout << "YES" << endl;
         }
    }
    
    signed main()
    {
        //ios::sync_with_stdio(false);
        int t ;
        scanf("%lld" , &t);
        while(t--)
            solve();
    
    }
    
    

    spfa算法是对Bellman-Ford的算法的队列优化。(O(kE))k表示节点平均入队列次数,一般k<=2


    spfa算法核心用队列来保存待优化的节点,优化时每次取出队首结点u,并且用结点u当前的最短路径估计值对离开结点u所指向的结点v进行松弛操作,
    即判断是否有dis[v]>dis[u]+w(w是连接u与v的边的长度),若有,则更新dis[v]。如果结点v的最短路径估计值有所调整,且结点v不在当前的队列中,
    就将结点v放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止

    判断负环根据bellman算法判断负环条件,可知spfa判断负环条件为,一个节点进入队列超过V次,即存在负环。

    //#include<bits/stdc++.h>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <stdio.h>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <map>
    #include <set>
    #include <string.h>
    #include <vector>
    #include <stdlib.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll ;
    #define int ll
    #define mod 100
    #define gcd(m,n) __gcd(m, n)
    #define rep(i , j , n) for(int i = j ; i <= n ; i++)
    #define red(i , n , j)  for(int i = n ; i >= j ; i--)
    #define ME(x , y) memset(x , y , sizeof(x))
    //int lcm(int a , int b){return a*b/gcd(a,b);}
    //ll quickpow(ll a , ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;b>>=1,a=a*a%mod;}return ans;}
    //int euler1(int x){int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){ans-=ans/i;while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)ans-=ans/x;return ans;}
    //const int N = 1e7+9; int vis[n],prime[n],phi[N];int euler2(int n){ME(vis,true);int len=1;rep(i,2,n){if(vis[i]){prime[len++]=i,phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<len&&prime[j]*i<=n;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else{phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];}}}return len}
    #define INF  0x3f3f3f3f
    #define PI acos(-1)
    #define pii pair<int,int>
    #define fi first
    #define se second
    #define lson l,mid,root<<1
    #define rson mid+1,r,root<<1|1
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define all(v) v.begin(),v.end()
    #define size(v) (int)(v.size())
    #define cin(x) scanf("%lld" , &x);
    const int N = 1e4+9;
    const int maxn = 5e2+9;
    const double esp = 1e-6;
    int head[maxn] , tol , dis[maxn]  , vis[maxn] , ans[maxn];
    int n , m , q ;
    struct node{
        int v , w , next;
    }g[N];
    void add(int u , int v , int w){
        g[++tol] = {v , w , head[u]};
        head[u] = tol;
    }
    
    bool spfa(int u){
        ME(vis , 0);
        fill(dis , dis+maxn , INF);
        dis[u] = 0 , vis[u] = 1;ans[u]++;
        queue<int>q;
        q.push(u);
        while(!q.empty()){
            int a = q.front();q.pop();
            vis[a] = 0 ;
            for(int i = head[a] ; i ; i = g[i].next){
                int v = g[i].v;
                int w = g[i].w;
                if(dis[a] + w < dis[v]){
                    dis[v] = dis[a] + w ;
                    if(!vis[v]){
                        q.push(v);
                        vis[v] = 1 ;
                        ans[v]++;
                        if(ans[v] > n){
                            return false;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
    void init(){
        tol = 0 ;
        ME(head , 0);
        ME(ans , 0);
    
    }
    void solve(){
        init();
        int u , v , w;
        scanf("%lld%lld%lld" , &n , &m , &q);
        rep(i , 1 , m){
            scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v, &w);
            add(u , v , w);
            add(v , u , w);
        }
        rep(i , 1 , q){
            int u , v , w ;
            scanf("%lld%lld%lld" , &u , &v , &w);
            add(u , v , -w);
        }
        if(spfa(1)){
            cout << "NO" << endl;
        }else{
            cout << "YES" << endl;
        }
    }
    
    signed main()
    {
        //ios::sync_with_stdio(false);
        int t ;
        scanf("%lld" , &t);
        while(t--)
            solve();
    
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/nonames/p/12657562.html
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