Description
在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。
Input
只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）
Output
方案数。
Sample Input
3 2
Sample Output
16
简单的题目描述，往往蕴藏着巧妙的算法--X
这道题的数据范围十分清新，暗喻着这道题可以承受较高的复杂度。
由于在棋盘上，我们可以把1当做放国王，0当做不放国王。那么整个矩阵就是一个01矩阵。
分解来看，每一行（我们通常从行的角度考虑）就是一个01串。
然而我们又知道，枚举01串的复杂度是指数级的，就算我们数据范围小，也犯不得枚举次数多呀！
如果我们用dp来做这道题，那本题的状态一定大的一匹，对dp进行优化可从两方面考虑：状态和转移。转移目测布星，我们考虑压缩状态。
沿着上面的思路，如果我们把棋盘当做01矩阵，每一行当做01串，那这个01串就可以看做一个二进制数，我们的状态就是这个二进制对应的十进制数。于是我们就完美地进行了状态压缩。
举个栗子：
0101 假设表示在第一行的第2、4列放国王，那么状态我们就可以表示为5，因为101（2）表示十进制的5.
那么，我们可以预处理出这些状态。而为了满足“互不侵犯”的性质，我们可以在进行状压dp预处理时就处理掉不合法的一些状态，留下合理的。
那么，我们可以把国王的攻击分为两类：同行的、不同行的，现在我们就要留下同行的合法解。因为一个国王会攻击它左右直接相邻的国王，所以合法的一行01串中“1”一定不能连续出现。
void getnowk(int x) { int tmp=0; while(x) tmp+=(x&1),x>>=1; nowk[cnt]=tmp; } void pre() { FAKE=(1<<n)-1;//可能的状态总数（最大值） for(int i=0;i<FAKE;i++) if(!(i&(i>>1))) bin[++cnt]=i,getnowk(i); }
预处理状态部分
现在我们来说状态！这种棋盘型的状压dp，我们一般把“行”作为状态。
设f[i][j][k]为在前i行，状态序号为j，目前已经放了k个国王的方案。
转移：f[i[[j][k]=sigma（ f[i-1][x][k-nowk[j] ) 其中x枚举的是上一行的状态，nowk记录着此状态中放了多少国王，这里减的是当前行状态的国王数。
另外，除了同行互不侵犯，邻行是否互不侵犯我们如何处理？
无敌位运算！
if(bin[j]&bin[k]) continue; //上下可侵犯 if((bin[j]<<1)&bin[k]) continue; // 左上右下侵犯 if(bin[j]&(bin[k]<<1)) continue; // 右上坐下侵犯
于是，这就是状压dp。它把复杂的状态转化为一个数，用位运算处理状态！
code
#include<cstdio> #include<algorithm> //写题解的时候可以输出一下中间结果！ using namespace std; typedef long long ll; int n,suming,cnt,FAKE; int bin[3000],nowk[3000];//bin[]: 01串表示的十进制 //nowk[]: 此时放的国王数量 即01串里有多少个1 ll f[15][3000][150]; ll ans; void getnowk(int x) { int tmp=0; while(x) tmp+=(x&1),x>>=1; nowk[cnt]=tmp; } void pre() { FAKE=(1<<n)-1;//可能的状态总数（最大值） for(int i=0;i<FAKE;i++) if(!(i&(i>>1))) bin[++cnt]=i,getnowk(i); } int main() { scanf("%d%d",&n,&suming); pre();//预处理出的状态 cnt是状态总数 //所有的状态：相邻无1的01串 for(int i=1;i<=cnt;i++) f[1][i][nowk[i]]=1; //赋初值，第1行第i个状态一定只有1种方案。 /* for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",bin[i]); printf(" "); for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",nowk[i]);*/ for(int i=2;i<=n;i++) //第1行已处理出，从第2行开始 for(int j=1;j<=cnt;j++)//枚举当前行（第i行）的状态 for(int k=1;k<=cnt;k++)//枚举上一行（第k行）的状态 { if(bin[j]&bin[k]) continue; if((bin[j]<<1)&bin[k]) continue; if(bin[j]&(bin[k]<<1)) continue; for(int s=suming;s>=nowk[j];s--) f[i][j][s]+=f[i-1][k][s-nowk[j]]; } for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=f[n][i][suming]; printf("%lld",ans); return 0; }
感谢 @KesdiaelKen @p_b_p_b 提供的思路！
*Update
用状压dp能否解决八皇后问题？ 答案是否定的，在八皇后问题中要满足行、列、对角线上除了本身没有另外的皇后，因为行、列、对角线是棋盘里整条贯穿边界的线，所以用位运算压缩状态就不太行。
所以状压dp比较适合上下左右仅相邻的情况 ，这种整行的维护就比较困难。
另如https://www.luogu.org/problemnew/show/P2051 ，若把n或m中的一个范围改为10，能不能用状压dp呢？答案依然是否定的，不行的原因与八皇后问题相似。