NOI题库--盒子和小球系列 By cellur925

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盒子和小球之二：N个有差别的盒子（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。

考虑动态规划。一个盒子可以同时放进两种球，但是每个盒子我们可以对他进行很多操作，所以也就可以近似看成每个盒子可以放无数球，但是这并不重要。设f[i][j][k]表示我们当前放到第i个盒子，已经放了j个红球，k个篮球的状态方案数。（因为我们要求在状态设计的时候要求顾及到题目中的重要量，而这个状态恰好达到了这点）另外，由于本题数据范围较小，所以我们思考的不用太复杂。

则我们可以理所当然地想到转移：f[i][j][k]=sigmaf[i-1][j-x][k-x],其中x是我们枚举的在当前盒子中放几个。

时间复杂度为O（n*A^2*B^2)，可以轻松通过。

目标答案显然我们可以累加f[n][i][j]，枚举ij。

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
//complexity n*A^2*B^2
int n,A,B;
ll ans,f[25][20][20];

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
    f[0][0][0]=1;//初值，很重要 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=A;j++)//注意放几个从0开始枚举 
            for(int k=0;k<=B;k++)
                for(int a=0;a<=j;a++)
                    for(int b=0;b<=k;b++)
                        f[i][j][k]+=f[i-1][j-a][k-b];
    for(int i=0;i<=A;i++)
        for(int j=0;j<=B;j++)
            ans+=f[n][i][j];//球不必全部放入盒子中 
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

盒子与小球之三：有N个相同的球，M个不同的盒子，每个盒子最多放K个球 ，请计算将这N个球全部放入盒子中的方案数模1000007后的结果 ，N<=5000，M<=5000。

我们可以继续考虑动态规划，相似的状态与转移。设f[i][j]为当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。显然有转移：

f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]，其中k枚举在当前盒子里放了几个。但由于本题数据比上一题大很多，这样的n^3转移会超时。状态设计的没有什么可以优化的了，考虑在转移优化。我们仔细观察转移方程，发现我们要加的其实是连续的一段，这就启示我们可以用前缀和优化，在转移前提前算出在i-1状态下的j前缀和。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 5090

using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m,k;
ll moder=1000007,f[maxn][maxn],sum[maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=0;i<=m;i++) f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
            (sum[j]=sum[j-1]+f[i-1][j])%=moder;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        { 
            //if(i==1&&j==1) printf("~~~~%d %d %d
",sum[j],sum[max(j-k-1,0)],max(j-k-1,0));
            if(j-k-1<0) (f[i][j]=sum[j]+moder)%=moder;
            else (f[i][j]=sum[j]-sum[j-k-1]+moder)%=moder;
            //printf("%d %d:=%d
",i,j,f[i][j]);
        }
    }
    printf("%lld",f[m][n]);
    return 0;
}

盒子与小球之四：给定N个各不相同的小球，和M个不同的BOX，有多少种不同的放球方法，使得每个BOX里的小球个数不小于Ｋ。N,M,K均小于15。

我们还可以继续考虑动态规划。设f[i][j]表示当前放到第i个盒子，已经放了j个球的方案数。小球个数不小于k，只需要在转移时从k开始枚举。由于本题小球各不相同，所以我们需要组合数。本题数据在15，非常小可以递推预处理出组合数。于是有转移如下：

f[i][j]=sigmaf[i-1][j-k]*C(n-(j-k),k).

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m,jue;
ll f[20][20],C[20][20];

ll Combines()
{
    for(int i=0;i<=15;i++) C[i][0]=1,C[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=15;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}

int main()
{
    Combines();
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&jue)!=EOF&&n!=0)
    {
        memset(f,0,sizeof f);
        for(int i=jue;i<=n;i++) f[1][i]=C[n][i];
        for(int i=2;i<=m;i++)
            for(int j=jue;j<=n;j++)
                for(int k=jue;k<=j;k++)
                    f[i][j]+=C[n-(j-k)][k]*f[i-1][j-k];
        printf("%lld
",f[m][n]);
    }
    return 0;
}