算法系列：寻找最大的 K 个数

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    寻找N个数中最大的K个数，本质上就是寻找最大的K个数中最小的那个，也就是第K大的数。

    可以使用二分搜索的策略来寻找N个数中的第K大的数。对于一个给定的数p，可以在O（N）的时间复杂度内找出所有不小于p的数。

    寻找第k大的元素：

//快速排序的划分函数
int partition(int a[],int l,int r)
{
    int i,j,x,temp;
    i = l;
    j = r+1;
    x = a[l];
    //将>=x的元素换到左边区域
    //将<=x的元素换到右边区域
    while (1)
    {
        while(a[++i] > x);
        while(a[--j] < x);
        if(i >= j) break;
        temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
    a[l] = a[j];
    a[j] = x;
    return j;
}

//随机划分函数
int random_partition(int a[],int l,int r)
{
    int i = l+rand()%(r-l+1);//生产随机数
    int temp = a[i];
    a[i] = a[l];
    a[l] = temp;
    return partition(a,l,r);//调用划分函数
}

//线性寻找第k大的数
int random_select(int a[],int l,int r,int k)
{
    int i,j;
    if (l == r) //递归结束
    {
        return a[l];
    }
    i = random_partition(a,l,r);//划分
    j = i-l+1;
    if(k == j) //递归结束，找到第K大的数
        return a[i];
    if(k < j)
    {
        return random_select(a,l,i-1,k);//递归调用，在前面部分查找第K大的数
    }
    else
        return random_select(a,i+1,r,k-j);//递归调用，在后面部分查找第K大的数
}

int main()
{
    int a[]={1,2,3,4,6,6,7,8,10,10};

    cout<<random_select(a,0,9,1)<<endl;
    cout<<random_select(a,0,9,5)<<endl;
    return 0;
}

    如果所有N个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个。比如，所有整数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组count[MAXN]来记录每个整数出现的个数（count[i]表示整数i在所有整数中出现的个数）。只需要扫描一遍就可以得到count数组。然后，寻找第K大的元素：

for(sumCount = 0, v = MAXN-1; v >= 0; v--)
{
    sumCount += count[v];
    if(sumCount >= K)
        break;
}
return v;

    极端情况下，如果N个整数各不相同，我们甚至只需要一个bit来存储这个整数是否存在（bit位为1或为0），这样使用的空间可以大大压缩。

    当然也可以使用像计数排序、桶排序等这些以O(N)的时间排序算法也可以寻找第K大的数，但这也是以空间换时间为代价的。

    实际情况下，并不一定保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。上面的方法仍然可以推广使用。如果N个数中最大的数Vmax，最小的Vmin，我们可以把这个区间[Vmax,Vmin]分成M块，每个小区间的跨度为d=(Vmax-Vmin)/M，即[Vmin,Vmin+d],[Vmin+d,Vmin+2d]......然后，扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数，就可以知道第K大的元素在哪一个小区间。然后，再在那个小区间中找第K大的数（此时这个小区间中，第K大的数可能就是第T大的数了，这个T和每个小区间的个数有关）。我们需要找一个尽量大的M，但M的取值受到内存的限制。

 

 

1. 方法一：常规解法,先排序(时间复杂度为O(N*logN))
2. 方法二：利用快速排序原理(时间复杂度O(N*logK)(掌握)
3. 方法三：利用最小堆的原理(时间复杂度为O(N*logK))(掌握)
4. 方法四：二分法(在实际应用中效果不佳)
5. 方法五：用空间换取时间的方法

        

 解法一：该解法是大部分能想到的，也是第一想到的方法。假设数据量不大，可以先用快速排序或堆排序，他们的平均时间复杂度为O(N*logN),然后取出前K个，时间复杂度为O(K)，总的时间复杂度为O(N*logN)+O(K).
        当K=1时，上面的算法的时间复杂度也是O(N*logN)，上面的算法是把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有限，也不需要后N-K个数有序。可以通过部分排序算法如选择排序和交换排序，把N个数中的前K个数排序出来，复杂度为O(N*K),选择哪一个，取决于K的大小，在K(K<logN)较小的情况下，选择部分排序。

         解法二：(掌握)避免对前K个数进行排序来获取更好的性能(利用快速排序的原理)。
        假设N个数存储在数组S中，从数组中随机找一个元素X，将数组分成两部分Sa和Sb.Sa中的元素大于等于X,Sb中的元素小于X。
    出现如下两种情况：
   (1)若Sa组的个数大于或等于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字 。
   (2)若Sa组中的数字小于K ，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字 。
   一直这样递归下去，不断把问题分解成小问题，平均时间复杂度为O(N*logK)。
   代码如下：

/*将数组a[s]...a[t]中的元素用一个元素划开，保存中a[k]中*/
void partition(int a[], int s,int t,int &k)
{
    int i,j,x;
    x=a[s];    //取划分元素
    i=s;        //扫描指针初值
    j=t;
    do
    {
        while((a[j]<x)&&i<j) j--;   //从右向左扫描,如果是比划分元素小，则不动
        if(i<j) a[i++]=a[j];           //大元素向左边移
        while((a[i]>=x)&&i<j) i++;      //从左向右扫描，如果是比划分元素大，则不动
        if(i<j) a[j--]=a[i];            //小元素向右边移

    }while(i<j); //直到指针i与j相等
a[i]=x;      //划分元素就位
k=i;
}
/*查找数组前K个最大的元素，index:返回数组中最大元素中第K个元素的下标(从0开始编号),high为数组最大下标*/
int FindKMax(int a[],int low,int high,int k)
{
     int q;
int index=-1;
   if(low < high)
      {
        partition(a , low , high,q);
        int len = q - low + 1; //表示第几个位置
        if(len == k)
         index=q; //返回第k个位置
        else if(len < k)
         index= FindKMax(a , q + 1 , high , k-len);
       else
        index=FindKMax(a , low , q - 1, k);
      }
    return index;

}
int main()
{
     int a[]={20,100,4,2,87,9,8,5,46,26};
    int Len=sizeof(a)/sizeof(int);
     int K=4;
 FindKMax(a , 0 , Len- 1 , K) ;
    for(int i = 0 ; i < K ; i++)
      cout<<a[i]<<" ";
 return 0;
}

         解法三:(掌握)用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中的最小的一个。每次扫描一个数据X，如果X比堆顶元素Y小，则不需要改变原来的堆。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶元素Y，在替换之后，X可能破坏了最小堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质。调整过程时间复杂度为O(logK)。 全部的时间复杂度为O(N*logK)。
          这种方法当数据量比较大的时候，比较方便。因为对所有的数据只会遍历一次，第一种方法则会多次遍历数组。 如果所查找的K的数量比较大。可以考虑先求出k` ，然后再求出看k`+1 到 2 * k`之间的数据，然后一次求取。
  
  代码如下：

void heapifymin(int Array[],int i,int size)
 {
    if(i<size)
 {
  int left=2*i+1;
  int right=2*i+2;
  int smallest=i;//假设最小的节点为父结点
  //确定三个结点中的最大结点
  if(left<size)
  {
   if(Array[smallest]>Array[left])
    smallest=left;
  }
  if(right<size)
  {
          if(Array[smallest]>Array[right])
    smallest=right;
  }

  //开始交换父结点和最大的子结点
       if(smallest!=i)
    {
     int temp=Array[smallest];
     Array[smallest]=Array[i];
     Array[i]=temp;
     heapifymin(Array,smallest,size);//对调整的结点做同样的交换
    }
 }
 }

//建堆过程，建立最小堆,从最后一个结点开始调整为最小堆
void min_heapify(int Array[],int size)
 {
  int i;
  for(i=size-1;i>=0;i--)
   heapifymin(Array,i,size);

 }
 //k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆
void FindMax(int Array[],int k,int size,int kMax[])
{

  for(int i=0;i<k;i++)
   kMax[i]=Array[i];
 //对kMax中的元素建立最小堆
   min_heapify(kMax,k);
 printf("最小堆如下所示 : 
");
for(i=0;i<k;i++)
printf("%4d",kMax[i]);
printf("
");

 for(int j=k;j<size;j++)
  {
     if(Array[j]>kMax[0]) //如果最小堆的堆顶元素，替换
  {
        int temp=kMax[0];
  kMax[0]=Array[j];
     Array[j]=temp;
  //可能破坏堆结构，调整kMax堆
  min_heapify(kMax,k);
  }


  }



}

int main()
{

 int a[]={10,23,8,2,52,35,7,1,12};
 int length=sizeof(a)/sizeof(int);

    //最大四个元素为23,52,35,12
/***************查找数组中前K个最大的元素****************/
 int k=4;
 int * kMax=(int *)malloc(k*sizeof(int));
 FindMax(a,k,length,kMax);

   printf("最大的%d个元素如下所示 : 
",k);
    for(int i=0;i<k;i++)
        printf("%4d",kMax[i]);
 printf("
");
 return 0;
}

         解法四：这也是寻找Ｎ个数中的第Ｋ大的数算法。利用二分的方法求取TOP k问题。 首先查找 max 和 min，然后计算出mid = (max + min) / 2该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。

const int N = 8 ;
 const int K = 4 ;

 /*
 利用二分的方法求取TOP k问题。
 首先查找 max 和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2
 该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。


 */

 int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数
 {
     int sum = 0 ;

     for(int i = 0 ; i < N ; i++ )
     {
        if(a[i] >= x)
          sum++ ;
     }
      return sum ;
 }


 int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字
 {
     while(max - min > 1)             //max - min的值应该保证比两个最小的元素之差要小
      {
        int mid = (max + min) / 2 ;
        int num = find(a , mid) ;    //返回比mid大的数字个数
        if(num >= K)                 //最大的k个数目都要比min值大
           min = mid ;
        else
           max = mid  ;
      }
      cout<<"end"<<endl;
      return min ;
 }

 int main()
 {
   int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ;
   int x = getK(a , 554 , 2) ;
   cout<<x<<endl ;
   getchar() ;
   return 0 ;
 }

该算法在实际应用中效果不佳。

          解法五：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到第K大的元素。
代码如下：

for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v--)
{
       cumCount += count[v];
       if(sumCount >= k)
            break;
}
return v;

        扩展问题：
1.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
     解答：除了解法五不行，其他的都可以。因为最后一种需要是正数。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
       解答：可以用小根堆来先求出m个最大的，然后从中输出k到m个。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
   解答：(解法三)用堆排序当每一个网页权重更新的时候，更新堆。

 举一反三：查找最小的K个元素

    解答：最直观的方法是用快速排序或堆排序先排好，在取前K小的数据。最好的办法是利用解法二和解法三的原理进行查找。

作者：阿凡卢

出处：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/

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