[清华集训2017] 生成树计数

题目链接

分析

一类树（连出的边数集合一定）的贡献

[mathbb{Ans}({d_n}|sum_id_i=2(n-1))=prod_ia_i^{d_i}prod_id_i^msum_{i}d_i^m ]

引入Prufer序列，设(d_i)为点（联通块）在序列中出现的次数，转换

[egin{aligned} mathbb{Ans}({d_n}|sum_{i}d_i=n-2) &=prod_ia_i^{d_i+1}prod_i{(d_i+1)^m}sum_{i}(d_i+1)^m\ &=prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^msum_{i}(d_i+1)^m\ end{aligned} ]

那么枚举所有的Prufer的组合，总答案

[egin{aligned} mathbb{Ans} &=sum_{sum_id_i=n-2}frac{(n-2)!}{prod_id_i!}prod_ia_i^{d_i+1}(d_i+1)^msum_{i}(d_i+1)^m\ &=(n-2)!prod_ia_isum_{sum_id_i=n-2}prod_ifrac{a_i^{d_i}(d_i+1)^m}{d_i!}sum_i(d_i+1)^{m}\ &=(n-2)!prod_ia_i(sum_{sum_id_i=n-2}sum_ifrac{a_i^{d_i}(d_i+1)^{2m}}{d_i!}prod_{i ot=j}frac{a_j^{d_i}(d_j+1)^m}{a_j!}) end{aligned} ]

G8麻烦……请出生成函数

[A(x)=sum_ifrac{x^i(i+1)^{2m}}{i!}\ B(x)=sum_ifrac{x^i(i+1)^m}{i!}\ F(x)=sum_iA(a_ix)prod_{i ot=j}B(a_jx) ]

注意到([n-2]F(x))正是(mathbb{Ans})中非常数部分（括号注明部分）。于是需要处理(F(x))

[F(x)=sum_ifrac{A(a_ix)}{B(a_ix)}prod_{i}B(a_ix)=sum_ifrac{A(a_ix)}{B(a_ix)}exp(sum_{i}ln(B(a_ix))) ]

在(lnexp)中视(a_ix)整体为变量，处理(frac{A(x)}{B(x)})和(ln(B(x)))的系数，再用(a_ix)代换(x)，求出(sumfrac{A(a_ix)}{B(a_ix)})以及(sumln(B(a_ix)))。

这两个过程本质相同：和函数(sum)的第(i)向系数是单个函数的(i)项系数（常量）乘上(sum_ka_k^i)。

于是涉及到一个序列的幂和，它的生成函数

[f(x)=sum_isum_ja_j^ix^i=sum_isum_j(a_ix)^j=sum_ifrac{1}{1-a_ix}\ g(x)=sum_iln(frac{1}{1-a_ix})=sum_ifrac{-a_i}{1-a_ix}=-sum_isum_ja_i^{j+1}x^j\ f(x)=n-x imes g(x)\ g(x)=sum_iln((1-a_ix)^{-1})=-ln(prod_i1-a_ix) ]

关于这个(ln)视(x)为变量而非(a_ix)，于是分治FFT处理(g(x))，设(L)为不小于(n)的2的幂，可以粗略的估计为复杂度

[sum_d^{log L}frac{L}ddlog d=Lsum_d^{log L}log d=Llog(log(L)!) ]

打表发现(log(log(L)!))较(log(L))略大，远小于(log^2)所在规模，于是近似认为复杂度为(O(nlog n))

最后慢慢推回去……

实现

有很多波折……目前洛谷rank1

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=200000;
const int MOD=998244353;

inline int qpow(int x,int y) {
    int c=1;
    for(; y; y>>=1,x=(ll)x*x%MOD) if(y&1) c=(ll)c*x%MOD;
    return c;
}

//------- POLYNOMIAL BEGIN -------
int w[N],rev[N],_inv[N],lmt;
inline void preDone(int len) {
    int l=0; lmt=1; _inv[1]=1;
    while(lmt<=len) lmt<<=1,l++;
    for(int i=0; i<lmt; ++i) {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
        if(i>1) _inv[i]=(ll)_inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    }
    int wlmt=qpow(3,(MOD-1)>>l),tmp=lmt>>1; w[tmp]=1;
    for(int i=tmp+1; i<lmt; ++i) w[i]=(ll)w[i-1]*wlmt%MOD;
    for(int i=tmp-1; i>0; --i) w[i]=w[i<<1];
    lmt=l;
}
inline void DFT(int a[],int len) {
    static unsigned long long tmp[N];
    int u=lmt-__builtin_ctz(len),T;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[rev[i]>>u]=a[i];
    for(int m=1; m<len; m<<=1)
    for(int i=0,s=m<<1; i<len; i+=s)
    for(int j=0; j<m; ++j)
        T=tmp[i+j+m]*w[m+j]%MOD,tmp[i+j+m]=tmp[i+j]+MOD-T,tmp[i+j]+=T;
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=tmp[i]%MOD;
}
inline void IDFT(int a[],int len) {
    reverse(a+1,a+len); DFT(a,len);
    ll T=MOD-(MOD-1)/len; 
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i]=T*a[i]%MOD;
}
inline int getLen(int len) {
    return 1<<(32-__builtin_clz(len));
}
inline void getDer(int a[],int b[],int n) {
    for(int i=0; i<n-1; ++i) b[i]=(ll)(i+1)*a[i+1]%MOD; b[n-1]=0;
}
inline void getInt(int a[],int b[],int n) {
    for(int i=n-1; i>0; --i) b[i]=(ll)_inv[i]*a[i-1]%MOD; b[0]=0;
}
inline void getInv(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[N];
    if(n==1) {b[0]=qpow(a[0],MOD-2); return;}
    getInv(a,b,(n+1)>>1);
    int len=getLen(n<<1);
    for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=a[i];
    for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
    DFT(tmp,len); DFT(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)b[i]*(2+MOD-(ll)b[i]*tmp[i]%MOD)%MOD;
    IDFT(b,len);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
}
inline void getLn(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[N];
    getInv(a,tmp,n);
    getDer(a,b,n);
    int len=getLen(n<<1);
    DFT(tmp,len); DFT(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=(ll)b[i]*tmp[i]%MOD;
    IDFT(tmp,len);
    getInt(tmp,b,n);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0;
}
inline void getExp(int a[],int b[],int n) {
    static int tmp[N];
    if(n==1) {b[0]=1; return;}
    getExp(a,b,(n+1)>>1);
    getLn(b,tmp,n);
    int len=getLen(n<<1);
    for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=((i==0)+MOD-tmp[i]+a[i])%MOD;
    for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
    DFT(tmp,len); DFT(b,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) b[i]=(ll)tmp[i]*b[i]%MOD;
    IDFT(b,len);
    for(int i=n; i<len; ++i) b[i]=0;
    for(int i=0; i<len; ++i) tmp[i]=0;
}
//------- POLYNOMIAL END -------

int n,m,con,a[N],d[20][N];
void solve(int l,int r,int p) {
    if(l==r) {
        d[p][0]=1;
        d[p][1]=MOD-a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1; 
    solve(l,mid,p);
    solve(mid+1,r,p+1);
    int len=getLen(r-l+1);
    for(int i=mid-l+2; i<len; ++i) d[p][i]=0;
    for(int i=r-mid+1; i<len; ++i) d[p+1][i]=0;
    DFT(d[p],len); DFT(d[p+1],len);
    for(int i=0; i<len; ++i) d[p][i]=(ll)d[p][i]*d[p+1][i]%MOD;
    IDFT(d[p],len);
}
int fc[N],fv[N];
int S[N],A[N],B[N],P[N],Q[N];

int main() {
 	//freopen("filename.in","r",stdin);
    fc[0]=fc[1]=fv[0]=fv[1]=1;
    for(int i=2; i<N; ++i) fv[i]=(ll)fv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=2; i<N; ++i) fv[i]=(ll)fv[i-1]*fv[i]%MOD;
    for(int i=2; i<N; ++i) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%MOD;
    
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    preDone((n+1)*4); con=fc[n-2];
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",a+i),con=(ll)con*a[i]%MOD;
    solve(1,n,0); 
    getLn(d[0],S,getLen(n)); //改成二的幂次似乎能缓解数组清空问题……
	S[0]=n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) S[i]=(MOD-(ll)S[i]*i%MOD)%MOD;

    for(int i=0; i<=n-2; ++i) {
        A[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,2*m)%MOD;
        B[i]=(ll)fv[i]*qpow(i+1,m)%MOD;
    }
    getInv(B,P,n-1);
    getLn(B,Q,n-1);
    int len=getLen(n<<1);
    DFT(A,len); DFT(P,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) P[i]=(ll)A[i]*P[i]%MOD;
    IDFT(P,len);
    for(int i=n-1; i<len; ++i) P[i]=0;
    for(int i=0; i<=n-2; ++i) {
        P[i]=(ll)P[i]*S[i]%MOD;
        Q[i]=(ll)Q[i]*S[i]%MOD;
    }
    memset(B,0,sizeof B); //这儿也是……
    getExp(Q,B,n-1);
    DFT(P,len); DFT(B,len);
    for(int i=0; i<len; ++i) P[i]=(ll)P[i]*B[i]%MOD;
    IDFT(P,len);
    
    printf("%lld
",(ll)con*P[n-2]%MOD);
    return 0;
}