伯努利数的坑太多了，目前正全力整合
基础部分已经填完了。
伯努利数
通常情况下指第一类伯努利数(B^-)，递推式为
[B_0=1,sum_{i=0}^ninom{n+1}{i}B_i=0(nge1)
]
其前若干项为(1,-frac12,frac16,0,-frac1{30},0,cdots)，发现对大于1的奇数(n)伯努利数(B_n=0)。
与第二类伯努利数(B^+)的差别在于(B_1^+=frac12)，或者说(B^+_i=(-1)^iB^-_i)，暂不研究。
伯努利数的生成函数
伯努利数(B)的指数生成函数
[B(x)=sum_{i=0}frac{B_i}{i!}x^i=frac{x}{e^x-1}
]
可以以如下方式推导
[egin{aligned}
sum_{i=0}^{n-1}inom{n}{i}B_i&=0(nge2)\
sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}B_i&=B_n(nge2)\
sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{B_i}{i!}&=frac{B_n}{n!}(nge2)\
sum_{n=2}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{B_i}{i!}x^n&=sum_{n=2}frac{B_n}{n!}x^n\
sum_{n=0}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{B_i}{i!}x^n&=sum_{n=2}frac{B_n}{n!}x^n+(frac{1}{1!}frac{B_0}{0!}+frac{1}{0!}frac{B_1}{1!})x^1+frac{1}{0!}frac{B_0}{0!}x^0\
sum_{n=0}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{B_i}{i!}x^n&=sum_{n=0}frac{B_n}{n!}x^n+x^1\
B(x) imes e^x&=B(x)+xRightarrow B(x)=frac{x}{e^x-1}
end{aligned}
]
这明面上给出了一个求出伯努利数列(B)的前(n)项的多项式做法，首先钦定(0^0=1)，
[B(x)=frac{x}{e^x-1}=frac{x}{sum_{i=0}frac{x^i}{i!}-1}=(sum_{i=0}frac{x^i}{(i+1)!})^{-1}
]
伯努利多项式
等幂和函数
[S_m(n)=sum_{i=1}^ni^m(n,mge0)
]
它的多项式表达，即伯努利多项式为
[S_m(n)=frac1{m+1}sum_{i=0}^minom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i}
]
转换一下，当(n>0)时，
[egin{aligned}
sum_{i=1}^{n-1}i^m=S_m(n)-n^m
&=frac1{m+1}sum_{i=0}^minom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i}-n^m\
&=frac1{m+1}sum_{i=0,i
ot=1}^minom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i}+frac1{m+1}inom{m+1}{1}frac12n^m-n^m\
&=frac1{m+1}sum_{i=0,i
ot=1}^minom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}-frac1{m+1}inom{m+1}{1}frac12n^m\
&=frac1{m+1}sum_{i=0}^minom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}\
sum_{i=1}^{n-1}i^m&=frac1{m+1}sum_{i=0}^minom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}
end{aligned}
]
更常见的是这样一个形式
[sum_{i=0}^{n-1}i^m=frac1{m+1}sum_{i=0}^minom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}
]
怎么得到的？当(m>0)时它能直接得出；当(m=0)时式子右边为(n)，而左边为(n-1+0^0)，因此只需钦定(0^0=1)。
考虑证明新的这个式子，左边的生成函数
[egin{aligned}
F(x)&=sum_{i=0}sum_{j=0}^{n-1}j^ifrac{x^i}{i!}=sum_{j=0}^{n-1}sum_{i=0}j^ifrac{x^i}{i!}\
&=sum_{j=0}^{n-1}e^{jx}=frac{e^{nx}-1}{e^x-1}\
&=B(x)frac{e^{nx}-1}x\
&=B(x)frac{sum_{i=0}frac{(nx)^i}{i!}-1}x\
&=B(x)sum_{i=0}frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i\
&=(sum_{i=0}frac{B_i}{i!}x^i)(frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i)
end{aligned}
]
可知([m]F(x)=sum_{i=0}^mdfrac{B_i}{i!}dfrac{n^{m+1-i}}{(m+1-i)!})，再乘上指数生成函数中砍去的阶乘(m!)，恰好是求证等式右边化简后的形式，即得证。
例题 P3711 仓鼠的数学题
现学现用
[egin{aligned}
sum_{k=0}^na_ksum_{i=0}^xi^k
&=sum_{k=0}^na_k(frac1{k+1}sum_{i=0}^kinom{k+1}{i}B_ix^{k+1-i}+x^k)\
&=sum_{k=0}^nfrac{a_k}{k+1}sum_{i=0}^kinom{k+1}{i}B_ix^{k+1-i}+sum_{k=0}^na_kx^k\
end{aligned}
]
参考之前推导的过程，对前一块拆开组合数，换枚举(x)次数来凑卷积
[sum_{k=0}^nfrac{a_k}{k+1}sum_{i=0}^kfrac{(k+1)!B_i}{i!(k+1-i)!}x^{k+1-i}
=sum_{k=0}^na_k(k!)sum_{i=0}^kfrac{B_i}{i!}frac{x^{k+1-i}}{(k+1-i)!}\
=sum_{k=0}^na_k(k!)sum_{i=1}^{k+1}frac{B_{k+1-i}}{(k+1-i)!}frac{x^i}{i!}
=sum_{i=1}^{n+1}sum_{k=i-1}^na_k(k!)frac{B_{k+1-i}}{(k+1-i)!}frac{x^i}{i!}\
=sum_{i=1}^{n+1}frac{x^i}{i!}sum_{k=i-1}^na_k(k!)frac{B_{k-(i-1)}}{[k-(i-1)]!}
]
将后一个分式的序列反向，就能凑出卷积了。