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简介
张正友标定法
论文提出一种灵活的新技术来轻松校准相机。 它仅需要照相机观察几个（至少两个）不同方向显示的平面图案。 相机或平面图案均可自由移动。 不需要知道运动。 径向透镜畸变被建模。 所提出的过程包括一个解析解的解决方案，然后是基于最大似然准则的非线性修正。 计算机仿真和实际数据都已用于测试该技术，并获得了很好的结果。 与使用昂贵的设备（例如两个或三个正交平面）的经典技术相比，该技术易于使用且灵活。 它使3D计算机视觉从实验室环境向现实世界的使用迈出了一步。
Algorithm
Notation
像素坐标系坐标 (m = [u, v]^T). 世界坐标系下坐标 (M = [X, Y, Z]^T), 使用 ( ilde{x}) 表示齐次坐标. ( ilde{m} = [u, v, 1]^T, space ilde{M} = [X, Y, Z, 1]^T)
(A) 为相机内参, ([R|t]) 为相机外参, 设标定板的(Z=0), 有
模型平面与其图像之间的单应性矩阵
单应性: 定义为从一个平面到另一个平面的投影映射
由于标定板上 (Z=0), 令 $ ilde{M} = [X, Y, 1]^T$
可以根据给定模型平面的图片估计单应性矩阵(见后面), 设单应性矩阵 (H = [h_1, h_2, h_3]), 有
其中, λ是任意标量。
(r_1, r_2)为外参旋转矩阵R(正交矩阵)的列向量, 满足如下约束:
Solving Camera Calibration
设 H (i^{th}) 列向量表示为 (h_i = [h_{i1}, h_{i2}, h_{i3}]^T)
则
将 (h^T_iBh_j) 展开, 可知 (v_{ij}) 为
由(3)(4) 可知
关于式(9)解法参照 Ax =0
一旦得到了b, 那么可得内参A
外参
其中, 
关于切向畸变的非线性估计方法详见论文
Estimation of the Homography Between the Model Plane and its Image
理想情况下，模型平面上点M和像素坐标m应该满足式(2). 实际上，并不能满足, 因为提取的图像点中存在噪声. 假设(m_i)上噪声为服从均值为0和协方差矩阵为(Λ_{mi})的高斯噪声。 单应矩阵可以最大似然估计最小化如下函数
这里(hat{h}_i) 也是采用列向量表示法
假设 (space forall i, space Lambda_{m_i} = sigma^2I), 那么上述问题等价于非线性最小二乘问题. 即 (sum_i||m_i - hat{m_i}||^2). 可以通过Levenberg-Marquardt Algorithm 来优化, 优化算法的初值可以通过如下方案获得.
令(H = x = [ar{h1}^T_1, ar{h}^T_2, ar{h}^T_3])
如上表达式为将 HM = m 展开后所得
Experiment Detail
