棋盘 || 状压DP

题意：有一个n*m的棋盘(n，m≤80,n*m≤80)要在棋盘上放k(k≤20)个棋子，使得任意两个棋子不相邻（每个棋子最多和周围4个棋子相邻）。求合法的方案总数。

思路：对于每一行，如果把没有棋子的地方记为0，有棋子的地方记为1，那么每一行的状态都可以表示成一个2进制数，进而将其转化成10进制。

　　   那么这个问题的状态转移方程就变成了：

　　   设dp[i][j][k]表示当前到达第i行，一共使用了j个棋子，且当前行的状态在压缩之后的十进制数为k时的状态总数。那么我们也可以类似的写出状态转移方程：

　　　dp[i][i][k]=sum(dp[i-1][j-num(k)][w])   num(k)表示 k状态中棋子的个数，w表示前一行的状态。

        最基本的做法是：首先判断k状态是否合法，也就是判断在这一行中是否有2个旗子相邻，然后枚举上一行的状态w，判断w状态是否合法，

　　　　　　　　　　　然后判断k状态和w状态上下之间是否有相邻的棋子。

 

下面是其他网上来的代码，三维状压DP

https://www.cnblogs.com/a-clown/p/6145462.html

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
using namespace std;

ll dp[82][22][1<<9];///dp[i][j][x]第i行放了j个棋子当前状态为x时的方法数
ll mark[1<<9];///十进制标记每一行的状态
ll ans,len;

ll num(ll x) ///记录状态x中1的个数
{
    ll sum=0;
    while(x)
    {
        if(x&1)sum++;
        x=x>>1;
    }
    return sum;
}

bool judge(ll x) ///判断状态x是否有相邻的棋子放在一起
{
    if(x&(x<<1)) return false;
    return true;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m,k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        len=0,ans=0;
        if(m>n) swap(n,m);

        for(ll i=0; i<(1<<m); i++) ///初始化第一行的放置方法数//剔除不合法状态（所谓的预处理）
        {
            if(judge(i)) ///若i状态没有相邻的棋子放在一起
            {
                dp[1][num(i)][len]=1;///则第一行状态为len(i)时1的个数为num(i)时的方法数
                mark[len++]=i;///标记状态
            }
        }

        for(ll i=2; i<=n; i++) ///第二行到第n行
        {
            for(ll j=0; j<=k; j++) ///对于放0***n个棋子
            {
                for(ll x=0; x<len; x++) ///对于0***len-1个状态（第i行）//枚举
                {
                    for(ll y=0; y<len; y++)///对于0***len-1个状态（第i-1行）//枚举
                    {
                        ll tmp=num(mark[x]);///第i行状态x中1的个数
                        if(((mark[x]&mark[y])==0) && j>=tmp) ///若上下2行没相邻的且当前的棋子数目大于此行当前状态所用的棋子
                            dp[i][j][x]+=dp[i-1][j-tmp][y];///放法数可相加
                        ///到当前行共用了j个棋子，当前行用了tmp个棋子，状态为x，到上一行共用了j-tmp个棋子，状态为y
                    }
                }
            }
        }
        for(ll i=0; i<len; i++) ///枚举状态相加
            ans+=dp[n][k][i];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

还有另外的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=(1<<9)+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;

ll dp[85][25][maxn];  ///第i行用j个棋子的k状态能否达到
int mark[maxn];

int judge(int x)
{
    if(x&(x<<1)) return 0;
    return 1;
}

int num(int x)
{
    int sum=0;
    while(x)
    {
        if(x&1) sum++;
        x=(x>>1);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m,k;
    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)==3)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        int len=0;
        if(m>n) swap(n,m);
        for(int i=0; i<(1<<m); i++)
        {
            if(judge(i))
            {
                dp[1][num(i)][len]=1;
                mark[len++]=i;
            }
        }

        for(int i=2; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=k; j++)
        for(int x=0; x<len; x++) ///当前行
        for(int y=0; y<len; y++) ///当前行的前一行
            if(((mark[x]&mark[y])==0) && j>=num(mark[x]) )
                dp[i][j][x]+=dp[i-1][j-num(mark[x])][y];

        ll ans=0;
        for(int i=0; i<len; i++)
            ans+=dp[n][k][i];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}