集合等势

(1)(mathbf{N}approxmathbf{Q})

考虑Stern-Brocot Tree。对于任意有理数，考虑其在Stern-Brocot Tree上的位置，用二进制表示之。

(2)(mathbf{N} otapproxmathbf{R})

(forall f: mathbf{N} o[0,1))，构造实数(x_0)，使得(forall iinmathbf{N})有(x_0)的二进制小数第(i)位不等于(f(i))的二进制小数第(i)位。这样，(forall iinmathbf{N})有(f(i) eq x_0)。

(3)(A otapprox P(A))

对任意(f)，如果(x otin f(x))就把(x)扔到一个集合(B)里面。这样子，(forall xin A)，如果(xin f(x))得(x otin B)从而(f(x) eq B)，如果(x otin f(x))得(xin B)，从而(f(x) eq B)。从而(B)没有和任意(x)对应。

(4)(mathbf{R}approx P(mathbf{N}))

(forall xin [0,1))，设其二进制小数点后第(i)位为(b_i)，则在(P(mathbf{N}))中对应的元素为({x|b_x=1})

但是这么做是不对的，因为一个数可能有两种表示，这么做只证明了(P(mathbf N))到(mathbf R)的满射。

还要证明存在一个单射，用十进制表示就可以了。