THUWC前集训Day6

THUWC前集训Day6

T1 string

关键就是求串(S)的所有本质不同子串的本质不同子串数量和，记为1型串和2型串。

首先你最好做过区间本质不同子串数量，和那个是一样的套路。

就是先建SAM，然后依次加入右端点(r)并考虑所有以(r)为右端点的子串。对SAM的影响就是改变了一条到根的链上的所有点的endpos，钦定所有2型串在当前最晚的出现位置产生贡献。从下往上爬这条链，如果某个点之前已经被访问过，那么其表示的所有子串的贡献都撤销（在线段树上区间-1即可），并标记为被(r)访问。最后将([1,r])区间+1.此时线段树上([l,r])的区间和即为([l,r])的本质不同子串数量，爬的过程可以用LCT维护，可以做到每个(r)复杂度均摊(mathcal O(log n))。

现在要对所有1型串求这个事情。我的做法是让每个1型串在最早的出现位置产生贡献，先假设都不同，答案加上(sum_{i=1}^rSum(i,r),Sum(i,r))为线段树上([i,r])区间和 。爬的时候如果某个点之前已经被访问过，那么将其贡献（设其表示了([minl,maxl])这些串，那么贡献为(sum_{i=minl}^{maxl}Sum(i,r)) ）撤销。令线段树维护区间加，询问区间后缀和的和即可。

复杂度(mathcal O(nlog n)). （注意不是2个log，LCT的虚实边切换是均摊(O(1))的）

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T2 Cubelia

关键就是询问一个区间的所有子区间的最小值之和。

离线可以莫队或者排序之后线段树，不必展开。

做法是求出最小值位置(pos),那么区间分三种：跨越(pos),在([l,pos-1])中，在([pos+1,r])中。

以([pos+1,r])为例。先用单调栈预处理(g(i)=sum_{j=1}^imax_{k=j}^ia_k)。那么([1,i])的答案即为(sum_{j=1}^ig(j)).

用([1,r])的答案减去([1,pos])的答案即为右端点在([pos+1,r])中的所有子区间最小值之和，我们再容斥掉左端点在([1,pos])右端点在([pos+1,r])的部分：因为(pos)是([l,r])的最小值，(forall pos<ile r,s_i>s_{pos})，所以容斥掉的部分就是(g(pos) imes (r-pos)).

RMQ可以ST表或分块ST表（或标准RMQ，若你愿意）。复杂度(mathcal O(nlog n+Q))或(mathcal O(n+Q))

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T3 背包++

法一：

令(f(i,j,k))表示考虑前(i)个物品，体积为(j)能否由(k)种物品拼成。

[f(i,j,k)=f(i-1,j,k)OR_{x=1}^cf(i-1,j-1,k-vx) ]

暴力转移+bitset压位可以做到(O(n^4/omega))

将所有(mod v=p)的(k)一起考虑。实际上就变成询问若干段区间的bitset的or的结果（开始一些区间长度不足(c)，之后全为(c)）。每(c)位设一个关键点，处理前面(k)个bitset的or的结果和后面(k)个bitset的结果，查询就找一个最近的关键点查询。

复杂度(mathcal O(n^3/omega)).

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