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  • P3321 [SDOI2015]序列统计 FFT+快速幂+原根

    (color{#0066ff}{ 题目描述 })

    小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S。小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi。另外,小C认为这个问题的答案可能很大,因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

    (color{#0066ff}{输入格式})

    一行,四个整数,N、M、x、|S|,其中|S|为集合S中元素个数。第二行,|S|个整数,表示集合S中的所有元素。

    (color{#0066ff}{输出格式})

    一行,一个整数,表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

    (color{#0066ff}{输入样例})

    4 3 1 2
    1 2
    

    (color{#0066ff}{输出样例})

    8
    

    (color{#0066ff}{数据范围与提示})

    对于10%的数据,1<=N<=1000;

    对于30%的数据,3<=M<=100;

    对于60%的数据,3<=M<=800;

    对于全部的数据,1<=N<=10^9,3<=M<=8000,M为质数,1<=x<=M-1,输入数据保证集合S中元素不重复

    (color{#0066ff}{ 题解 })

    乘法在这里很不好处理

    m为质数又很小,这让我们可以想到原根

    如果在mod m意义下,g的0--->m-2次幂mod m各不相同,那么g就称作m的一个原根

    质数一定有原根

    有关原根,详见巨佬blog

    这样乘法就被转化为了加法

    直接FFT套快速幂 ,注意和是在mod(m-2)意义下的,所以统计的时候要把后面的都算回来

    #include<bits/stdc++.h>
    #define LL long long
    LL in() {
        char ch; LL x = 0, f = 1;
        while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
        for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
        return x * f;
    }
    const int maxn = 1e5 + 100;
    const int mod = 1004535809;
    using std::vector;
    int r[maxn], len;
    int a[maxn], b[maxn], root, mp[maxn];
    LL ksm(LL x, LL y, LL z) {
        LL re = 1LL;
        while(y) {
            if(y & 1) re = re * x % z;
            x = x * x % z;
            y >>= 1;
        }
        return re;
    }
    void FNTT(vector<int> &A, int flag) {
        A.resize(len);
        for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);
        for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {
            int w0 = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1), mod);
            for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {
                int w = 1, a0 = i, a1 = i + l;
                for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w0 * w % mod) {
                    int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod;
                    A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod;
                    A[a0] = (A[a0] + tmp) % mod;
                }
            }
        }
        if(!(~flag)) {
            std::reverse(A.begin() + 1, A.end());
            int inv = ksm(len, mod - 2, mod);
            for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % mod;
        }
    }
    vector<int> work(vector<int> A, vector<int> B, int m) {
        A.resize(m - 1), B.resize(m - 1);
        int tot = A.size() + B.size() - 1;
        for(len = 1; len <= tot; len <<= 1);
        for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
        FNTT(A, 1), FNTT(B, 1);
        vector<int> tmp;
        for(int i = 0; i < len; i++) tmp.push_back(1LL * A[i] * B[i] % mod);
        FNTT(tmp, -1);
        vector<int> ans;
        ans.resize(m - 1);
        for(int i = 0; i < len; i++) (ans[i % (m - 1)] += tmp[i]) %= mod;
        return ans;
    }
    int getroot(int m) {
        for(int i = 2; i < m; i++) {
            int res = m - 1;
            for(int j = 2; j <= res; j++) {
                if(res % j == 0) {
                    while(res % j == 0) res /= j;
                    if(ksm(i, (m - 1) / j, m) == 1) break;
                }
                if(j >= res) return i;
            }
        }
        return 233;
    }
    vector<int> ksm(vector<int> A, int b, int m) {
        vector<int> ans;
        ans.push_back(1);
        while(b) {
            if(b & 1) ans = work(ans, A, m);
            A = work(A, A, m);
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    int main() {
        int _ = in(), m = in(), x = in(), num = in(), n = 0;
        for(int i = 1; i <= num; i++) {
            int t = in();
            if(t) a[++n] = t;
        }
        root = getroot(m);
        for(int i = 0; i <= m - 2; i++) mp[ksm(root, i, m)] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = mp[a[i]];
        int xx = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++) if(ksm(root, i, m) == x % m) { xx = i; break; }
        vector<int> f;
        f.resize(m - 1);
        for(int i = 1; i <= n; i++) f[b[i]] = 1;
        f = ksm(f, _, m);
        printf("%d
    ", f[xx] % mod);
        return 0;
    }
    
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