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  • P2173 [ZJOI2012]网络

    (color{#0066ff}{ 题目描述 })

    有一个无向图G,每个点有个权值,每条边有一个颜色。这个无向图满足以下两个条件:

    1. 对于任意节点连出去的边中,相同颜色的边不超过两条。
    2. 图中不存在同色的环,同色的环指相同颜色的边构成的环。

    在这个图上,你要支持以下三种操作:

    1. 修改一个节点的权值。
    2. 修改一条边的颜色。
    3. 查询由颜色c的边构成的图中,所有可能在节点u到节点v之间的简单路径上的节点的权值的最大值。

    (color{#0066ff}{输入格式})

    输入文件network.in的第一行包含四个正整数N, M, C, K,其中N为节点个数,M为边数,C为边的颜色数,K为操作数。

    接下来N行,每行一个正整数vi,为节点i的权值。

    之后M行,每行三个正整数u, v, w,为一条连接节点u和节点v的边,颜色为w。满足1 ≤ u, v ≤ N,0 ≤ w < C,保证u ≠ v,且任意两个节点之间最多存在一条边(无论颜色)。

    最后K行,每行表示一个操作。每行的第一个整数k表示操作类型。

    1. k = 0为修改节点权值操作,之后两个正整数x和y,表示将节点x的权值vx修改为y。
    2. k = 1为修改边的颜色操作,之后三个正整数u, v和w,表示将连接节点u和节点v的边的颜色修改为颜色w。满足0 ≤ w < C。
    3. k = 2为查询操作,之后三个正整数c, u和v,表示查询所有可能在节点u到节点v之间的由颜色c构成的简单路径上的节点的权值的最大值。如果不存在u和v之间不存在由颜色c构成的路径,那么输出“-1”。

    (color{#0066ff}{输出格式})

    输出文件network.out包含若干行,每行输出一个对应的信息。

    1. 对于修改节点权值操作,不需要输出信息。
    2. 对于修改边的颜色操作,按以下几类输出:

    a) 若不存在连接节点u和节点v的边,输出“No such edge.”。

    b) 若修改后不满足条件1,不修改边的颜色,并输出“Error 1.”。

    c) 若修改后不满足条件2,不修改边的颜色,并输出“Error 2.”。

    d) 其他情况,成功修改边的颜色,并输出“Success.”。

    输出满足条件的第一条信息即可,即若同时满足b和c,则只需要输出“Error 1.”。

    1. 对于查询操作,直接输出一个整数。

    (color{#0066ff}{输入样例})

    4 5 2 7
    1
    2
    3
    4
    1 2 0
    1 3 1
    2 3 0
    2 4 1
    3 4 0
    2 0 1 4
    1 1 2 1
    1 4 3 1
    2 0 1 4
    1 2 3 1
    0 2 5
    2 1 1 4
    

    (color{#0066ff}{输出样例})

    4
    Success.
    Error 2.
    -1
    Error 1.
    5
    

    (color{#0066ff}{数据范围与提示})

    img

    颜色0为实线的边,颜色1为虚线的边,

    由颜色0构成的从节点1到节点4的路径有1 – 2 – 4,故max{v1, v2, v4} = max{ 1, 2, 4 } = 4。

    将连接节点1和节点2的边修改为颜色1,修改成功,输出“Success.”

    将连接节点4和节点3的边修改为颜色1,由于修改后会使得存在由颜色1构成的环( 1 – 2 – 4 – 3 – 1 ),不满足条件2,故不修改,并输出“Error 2”。

    不存在颜色0构成的从节点1到节点4的边,输出“-1”。

    将连接节点2和节点3的边修改为颜色1,由于修改后节点2的连出去的颜色为1的边有3条,故不满足条件1,故不修改,并输出“Error 1.”。

    将节点2的权值修改为5。

    由颜色1构成的从节点1到节点4的路径有 1 – 2 – 4,故max{v1, v2, v4} = max{ 1, 5, 4 } = 5。

    【数据规模】

    对于30%的数据:N ≤ 1000,M ≤ 10000,C ≤ 10,K ≤ 1000。

    另有20%的数据:N ≤ 10000,M ≤ 100000,C = 1,K ≤ 100000。

    对于100%的数据:N ≤ 10000,M ≤ 100000,C ≤ 10,K ≤ 100000。

    (color{#0066ff}{ 题解 })

    不存在同色环,那么每种颜色就是个森林

    颜色只有10个,点数才10000,乘起来不过才1e5,所以用LCT维护再合适不过

    LCT支持单点修改,树链查询,对于颜色修改,只需在原颜色的LCT上cut一下,新颜色link一下就行

    这题的判断比较麻烦

    首先对于改颜色,我们需要找到那个边,可以map套一个pair记录这条边当前的颜色以及是否存在的问题

    对于a,直接map查找即可

    对于b,我们开个桶记录一下,每个点的出边的颜色

    注意,修改前后的颜色可能是一样的,要判掉

    对于c,同颜色成环的问题,也就是修改后的颜色的LCT上x与y以及联通

    但是还要特判修改前后的颜色是否相同,如果相同,那cut之后再link依然不会成环

    查询直接在对应颜色琛出一条链输出即可

    #include<bits/stdc++.h>
    #define LL long long
    LL in() {
    	char ch; LL x = 0, f = 1;
    	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    	return x * f;
    }
    using std::map;
    using std::pair;
    using std::make_pair;
    const int maxn = 1e4 + 10;
    struct LCT {
    protected:
    	struct node {
    		node *ch[2], *fa;
    		int val, max, rev;
    		node(int val = 0, int max = 0, int rev = 0): val(val), max(max), rev(rev) { ch[0] = ch[1] = fa = NULL; }
    		void trn() { std::swap(ch[0], ch[1]), rev ^= 1; }
    		void upd() {
    			max = val;
    			if(ch[0]) max = std::max(max, ch[0]->max);
    			if(ch[1]) max = std::max(max, ch[1]->max); 
    		}
    		void dwn() {
    			if(!rev) return;
    			if(ch[0]) ch[0]->trn();
    			if(ch[1]) ch[1]->trn();
    			rev = 0;
    		}
    		bool ntr() { return fa && (fa->ch[0] == this || fa->ch[1] == this); }
    		bool isr() { return this == fa->ch[1]; }
    	}pool[maxn];
    	void rot(node *x) {
    		node *y = x->fa, *z = y->fa;
    		bool k = x->isr(); node *w = x->ch[!k];
    		if(y->ntr()) z->ch[y->isr()] = x;
    		x->ch[!k] = y, y->ch[k] = w;
    		y->fa = x, x->fa = z;
    		if(w) w->fa = y;
    		y->upd(), x->upd();
    	}
    	void splay(node *o) {
    		static node *st[maxn];
    		int top;
    		st[top = 1] = o;
    		while(st[top]->ntr()) st[top + 1] = st[top]->fa, top++;
    		while(top) st[top--]->dwn();
    		while(o->ntr()) {
    			if(o->fa->ntr()) rot(o->isr() ^ o->fa->isr()? o : o->fa);
    			rot(o);
    		}
    	}
    	void access(node *x) {
    		for(node *y = NULL; x; x = (y = x)->fa) 
    			splay(x), x->ch[1] = y, x->upd();
    	}
    	void makeroot(node *x) { access(x), splay(x), x->trn(); }
    	node *findroot(node *x) {
    		access(x), splay(x);
    		while(x->dwn(), x->ch[0]) x = x->ch[0];
    		return x;
    	}
    public:
    	void init(int id, int val) { pool[id].val = val, pool[id].upd(); }
    	void link(int l, int r) {
    		node *x = pool + l, *y = pool + r;
    		makeroot(x), x->fa = y;
    	}
    	void cut(int l, int r) {
    		node *x = pool + l, *y = pool + r;
    		makeroot(x), access(y), splay(y);
    		if(y->ch[0] == x) y->ch[0] = x->fa = NULL;
    	}
    	void change(int pos, int k) {
    		node *o = pool + pos;
    		splay(o);
    		o->val = k, o->upd();
    	}
    	bool judge(int x, int y) { return findroot(pool + x) == findroot(pool + y); }
    	int query(int l, int r) {
    		if(!judge(l, r)) return -1;
    		node *x = pool + l, *y = pool + r;
    		makeroot(x), access(y), splay(y);
    		return y->max;
    	}
    }s[10];
    int n, m, c, k;
    map<pair<int, int>, int> mp;
    int num[maxn][12];
    int main() {
    	n = in(), m = in(), c = in(), k = in();
    	for(int i = 1; i <= n; i++) {
    		int val = in();
    		for(int j = 0; j < c; j++) 
    			s[j].init(i, val);
    	}
    	int p, x, y, v;
    	for(int i = 1; i <= m; i++) {
    		x = in(), y = in(), v = in();
    		if(x > y) std::swap(x, y);
    		mp[make_pair(x, y)] = v + 1;
    		s[v].link(x, y);
    		num[x][v]++, num[y][v]++;
    	}
    	while(k --> 0) {
    		p = in();
    		if(p == 0) {
    			x = in(), y = in();
    			for(int i = 0; i < c; i++) s[i].change(x, y);
    		}
    		if(p == 1) {
    			x = in(), y = in(), v = in();
    			if(x > y) std::swap(x, y);
    			if(!mp.count(make_pair(x, y))) {
    				printf("No such edge.
    ");
    				continue;
    			}
    			if(mp[make_pair(x, y)] - 1 != v && (num[x][v] > 1 || num[y][v] > 1)) {
    				printf("Error 1.
    ");
    				continue;
    			}
    			if(mp[make_pair(x, y)] - 1 != v && s[v].judge(x, y)) {
    				printf("Error 2.
    ");
    				continue;
    			}
    			num[x][mp[make_pair(x, y)] - 1]--, num[y][mp[make_pair(x, y)] - 1]--;
    			num[x][v]++, num[y][v]++;
    			s[mp[make_pair(x, y)] - 1].cut(x, y);
    			mp[make_pair(x, y)] = v + 1;
    			s[v].link(x, y);
    			printf("Success.
    ");
    		}
    		if(p == 2) v = in(), x = in(), y = in(), printf("%d
    ", s[v].query(x, y));
    	}
    	return 0;
    }
    
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