博弈的意思就是下棋，这个没什么好解释的-------来自@月桂醛聚醚硫酸酯钠 dalao
博弈论
NIM博弈
1
平面上有两堆石子，现在Alice和Bob轮流取石子。
每次每个人只能取其中一堆石子，不能不取。
取不了石子的输。求先手必胜的状况。
当两堆石子不同的时候是先手必胜。
这时候只需要先手把两堆石子取到相同。
然后后手拿多少先手拿多少就行。
2
还是上题，只是平面上有N堆石子，每堆有$a_i$个。
当a的异或和等于0时后手必胜，否则先手必胜。
证明：首先当所有的棋子数目都0时候是一个必败局面，此时异或和为0。
我们假设所有异或和为0的局面为必败局面，否则为必胜局面。除了最终局面之外，所有必败局面都一定不可以转化为必败局面。
而所有的必胜局面都一定有可能转化为必败局面。怎么转化呢？
对于必胜局面，我们求一下a数组的异或和x，其中一定存在一个$a_k ge x$，让$a_koplus= x$，这样转化为了必败局面。
有向图游戏
当前你和Alice有一个DAG，DAG的一个入度为0的节点上有一个棋子，你们俩轮流把棋子移动一步，不能移动算输。
我们把它抽象成一个模型，为有向图游戏。
显然，一个节点表示一个局面。一条边则表示局面的转移。
SG函数
我们现在有一个非负整数集合的子集A，定义mex(A)运算代表A集合没有出现的最小非负整数。
mex的参数是一个集合，结果是一个函数值。例如：mex({0,1,4,2,5}) =3
在有向图游戏中，当一个节点是必败局面的时候，
他的SG函数值为0，否则为他所有能够转移到的局面的SG函数值组成的集合的mex值。
SG函数值是一个局面的估价。
SG函数在某年初赛中有考过。
有向图游戏的和
当NIM游戏只有一堆石子的时候（如果石子不为0，先手必胜），
有SG(0)=0,SG(1)=1,SG(2)=2...SG(N)=N。
对于N个有向图游戏，定义他们的和为：每一次移动可以将一个有向图游戏的一个棋子向前移动一步，移动不了的算输。
显然对于一个局面，当前N个棋子所在位置的SG函数值为${a_1,a_2,...,a_n}$，这个局面的SG函数值为这n个a的异或和。
思考题
现在有一块n*m的矩形，矩形有一个格子是黑色的。现在Alice和Bob轮流把这个矩形劈成两半(沿着任意一条格子之间的直线劈开)，保留有黑色格子的那个。
最后无法劈的人输。求先手必胜。
固定黑色格子的那个棋子，变为4堆棋子的nim博弈。
平局
例题：A Game With Numbers
Alice和Bob又在玩游戏，他们每个人手里有8个[0,4]之间的数字。每次一个人选自己的一个数字和对方的一个数字，自己的数字+=对方的数字，自己的数字%=5。不能选择0。不能操作者输。现在给一个局面，问胜负还是平局。
读到这里你肯定会很懵逼，这之后只会出现输赢哪里来平局呢？你没有想到过这个有环。
我们先枚举状态。状态数有$(5^8)^2$种（152587890625种），但实际上没有这么多，因为数字的位置和状态无关。
用组合数则$(C_{5+8-1}^8)^2$种。（245025种）。另外我们注意到有些位置胜负已经确定了（当前有一方全是0，那么先手必败，因为无法走了），
我们从这个状态递推（记忆化搜索？）到其它全部状态，推出所有能够确定胜负的状态，
剩下的就是不能够确定胜负的状态辣。时间复杂度$O(5^2*245025)$。
概率论
OI中期望是当前你处于某一个确定的局面，你有若干种可供选择的后继，
选择某种后继具有某个概率，对所有方案出现概率乘以他的最后局面权值的和是这个局面的期望。
通常在OI中，为了方便你做题，一个局面的期望只和当前所处位置有关，和之前的决策无关。
OI中概率的考察通常与递推啊高斯消元什么的相结合。
-------源自rqj大佬的markdown