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  • 数学 交换律

    交换律是被普遍使用的一个数学名词,意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质,而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在,且没有给定其一特定的名称,直到19世纪,数学家开始形式化数学理论之后。

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    [编辑]一般用法

    交换律是一个和二元运算函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立,则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

    群论集合论中,许多的代数结构被称做是可交换的,若其中的运算域满足交换律。在数学分析线性代数中,一些知名的运算(如实数及复数上的加法乘法)的交换律会经常被用于(或假定存在于)证明之中。[1][2][3]

    [编辑]数学定义

    “可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中[4][5]

    1. 在集合 S 的一二元运算 * 被称之为“可交换”的,若:

    x ∗ y = y ∗ x ∀ x,y ∈ S
    • 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

    2. 若称 x 在 * 下和 y “可交换”,即表示:

    x ∗ y = y ∗ x

    3. 一二元函数 f:A×A → B被称之为“可交换”的,若:

    f(x,y) = f(y,x) ∀ x,y ∈ A.

    [编辑]历史

    对这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上

    对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人乘法的交换律来简化乘积的计算。[6][7]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。[8]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初,那时数学家开始在研究函数的理论。今日,交换律已被普遍认知,且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

    第一个使用“可交换(commutative)”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记[9][10],这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。[11]

    [编辑]相关性质

    显示加法函数对称性的图

    [编辑]结合律

    主条目:结合律

    结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地,交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

    [编辑]对称

    主条目:对称

    对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数,则此一函数会对 y = x 这条线对称。举例来说,若设一函数 f 来表示加法(一可交换运算),所以 f(x,y) = x + y ,也因此 f 会是个如右图所见的对称函数。

    [编辑]例子

    [编辑]日常生活中的可交换运算

    • 洗一双鞋子可类比为一可交换运算,因为不论是左边的鞋子先洗,还是右边的鞋子先洗,最终的结果(两只鞋子都洗好)是一样的。
    • 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

    [编辑]数学中的可交换运算

    显现出乘法 (3 * 5 = 5* 3) 的交换律的一个例子

    两个广为人知的可交换二元运算的例子为[12]

     y + z = z + y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}
    例如, 4 + 5 = 5 + 4 ,两个表示式都等于 9 。
     y z = z y \quad \forall y,z\in \mathbb{R}
    例如, 3 × 5 = 5 × 3 ,两者都等于 15 。

    [编辑]日常生活中的不可交换运算

    串接(将字串连在一起的行为)是个不可交换运算。
    • 洗衣和干衣可类比成不可交换运算,因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
    • 魔术方块是不可交换的。例如,将正面顺时针扭转,顶面顺时针扭转,再将正面逆时针扭转(FUF'),并不会得出如将正面顺时针扭转,再将正面逆时针扭转,最后再将顶面顺时针扭转(FF'U)一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

    [编辑]数学中的不可交换运算

    一些不可交换二元运算[13]有:

    • 减法: 0-1\neq 1-0 不过可将其减法符号转换成负数,即可使用交换律。
    • 除法: 1\div2\neq 2\div1 可将除法转换成乘分数以使用交换律。
    • 矩阵乘法:
    
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
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