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  • poj3358:欧拉定理

    又是一道用欧拉定理解的题。。嗯,关键还是要建好方程,注意一些化简技巧

    题目大意:

    给定一个由 p / q 生成的循环小数,求此循环小数在二进制表示下的最小循环节以及不是循环节的前缀

    思路:

    小数化为二进制,应该乘2取余, 设从小数的第x位开始有长度为y的循环节,

    先把 p/q 化为最简分数,此时p,q互质

    则应该满足 同余方程 p*2^x=p*2^(x+y) mod q

    整理一下可得  q | p*2^x*(2^y - 1) 由于 p,q互质,则q | 2^x*(2^y - 1)

    此时 由于 2^y-1是奇数,则有次整除式可知 q中2的因数个数即为 x,因此可以处理 q 得到 x,同时将q变为 q/(2^x);

    最终得到同余方程   2^y=1 (mod q)

    利用欧拉定理解此同余方程即可

    代码如下

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #include<string>
    #include<ctype.h>
    using namespace std;
    #define MAXN 10000
    long long gcd(long long a,long long b)
    {
        return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    long long phi(long long n)
    {
        long long res=n;
        for(int i=2;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                res=res-res/i;
                while(n%i==0)
                {
                    n/=i;
                }
            }
        }
        if(n>1)
            res=res-res/n;
        return res;
    }
    long long multi(long long a,long long b,long long m)//a*b%m
    {
        long long res=0;
        while(b>0)
        {
            if(b&1)
                res=(res+a)%m;
            b>>=1;
            a=(a<<1)%m;
        }
        return res;
    }
    long long quickmod(long long a,long long b,long long m) //a^b%m
    {
        long long res=1;
        while(b>0)
        {
            if(b&1)
                res=multi(res,a,m);
            b>>=1;
            a=multi(a,a,m);
        }
        return res;
    }
    
    int main()
    {
    
        long long p,q,x,y;
        int cas=0;
        while(scanf("%I64d/%I64d",&p,&q)!=EOF)
        {
            if(p==0)
            {
                puts("1,1");
                continue;
            }
            cas++;
            long long t=gcd(p,q);
            x=1;
            p/=t;q/=t;
            while(q%2==0)
            {
                q/=2;x++;
            }
            long long m=phi(q);
            y=m;
            for(long long i=2;i*i<=m;i++)
            {
                if(m%i==0)
                {
                    while(m%i==0)
                        m/=i;
                    while(y%i==0)
                    {
                        y/=i;
                        if(quickmod(2,y,q)!=1)
                        {
                            y*=i;
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
            printf("Case #%d: %I64d,%I64d
    ",cas,x,y);
        }
    
    
        return 0;
    }
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