poj2409 & 2154 polya计数+欧拉函数优化

这两个题都是项链珠子的染色问题

也是polya定理的最基本和最经典的应用之一

题目大意： 用m种颜色染n个珠子构成的项链，问最终形成的等价类有多少种

项链是一个环。通过旋转或者镜像对称都可以得到置换

旋转可以旋转 i=[1，n]次。。画图可以看出循环节有gcd(n,i)个

镜像对称的置换画个图也是很容易找的

然后通过polya定理就可以容易的求出等价类的种数了

2409就是这样一个裸题，以下为ac代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<ctype.h>
using namespace std;
#define MAXN 10000
long long gcd(long long a,long long b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
long long pow(long long a,long long b)
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res*=a;
        }
        a*=a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    long long n,m;
    while(scanf("%I64d%I64d",&m,&n),n+m)
    {
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=pow(m,gcd(n,i));
        }
        if(n&1)
        {
            ans+=n*pow(m,n/2+1);
        }
        else
        {
            ans+=n/2*pow(m,n/2)+n/2*pow(m,n/2+1);
        }
        printf("%I64d
",ans/2/n);
    }
    return 0;
}

2154不允许镜像对称，只考虑旋转的情况

但是n很大。o(n)会超时，因此需要用优化。。

然后去学习了一种欧拉函数优化方法：

只枚举循环节的个数 ，然后计算出这样的置换有多少个，再统计即可

假设某种置换的循环节个数为 d，那么我们所求的就是满足gcd(n,i)=d 的 i 的个数

显然  i 应该是 d的倍数，令i =q*d,再令  n=p*d;

等式变为gcd(p*d,q*d)==d， 即 p，q 互质

而由n>=i 可知 p>=d  要对每一个p，求小于等于p且与p互质的数。。显然是求 p的欧拉函数了

具体见代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<ctype.h>
using namespace std;
#define maxn 100000
int phi(int n)
{
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
        }
        while(n%i==0)
            n/=i;
    }
    if(n>1)
        res=res/n*(n-1);
    return res;
}
int pow(int a,int b,int mod)
{
    int res=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res*=a;
            res%=mod;
        }
        a*=a;
        a%=mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t;
    int n,p;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&p);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i)
                continue;
            if(i*i==n)
            {
                ans+=phi(i)%p*pow(n,n/i-1,p);
                ans%=p;
            }
            else
            {
                ans+=phi(i)%p*pow(n,n/i-1,p);
                ans%=p;
                ans+=phi(n/i)%p*pow(n,i-1,p);
                ans%=p;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}