【51NOD】1201 整数划分

【题意】将n划分成不同正整数的和的方案数。

【算法】动态规划

【题解】

暴力：f[i][j]:只用前1..i的数字，总和为j的方案数

本质上是01背包，前i个物体，总质量为j的方案数

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]

复杂度O(n^2)

优化：

我们发现，因为要求数字不同，那么数字最多也小于sqrt(n*2)个。

极端情况：1+2+3+...+mx=n mx<sqrt(n*2)

所以可以改一下状态的设计

f[i][j]:用了i个数字，总和为j的方案数。

转移状态：

①如果i个数里没有1：那么把i个数字都-1，就对应“取了i个数字，总和为j-i”的，i个数都+1

②i个数字里有1：对应"取了i-1个数字，总和为j-i"的情况，再加一个新的数字1，其他i-1个数也都+1啊

f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]

初始状态f[0][0]=1

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50010;
const long long MOD=1000000007;
int f[350][maxn],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f[0][0]=1;
    
    for(int i=1;i*i<=n*2;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++)
      if(j-i>=0)f[i][j]=(f[i-1][j-i]+f[i][j-i])%MOD;
    long long ans=0;
    for(int i=1;i*i<=n*2;i++)
     ans=(ans+f[i][n])%MOD;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

总结一下几种情况：

1.$f_{n,m}$表示将数字n分成m个非负整数的方案。

$$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-j,j}$$

如果方案中有0就去掉，否则整体-1。

2.$f_{n,m}$表示将数字n分成m个正整数的方案。

$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}$$

如果方案中有1就去掉，否则整体-1。

3.$f_{n,m}$表示将数字n分成m个不同正整数的方案数。

$$f_{i,j}=f_{i-j,j-1}+f_{i-j,j}$$

强制递增，如果方案第一位是1那么去掉后整体-1，否则整体-1。