【BZOJ】2466: [中山市选2009]树 高斯消元解异或方程组

【题意】给定一棵树的灯，按一次x改变与x距离<=1的点的状态，求全0到全1的最少次数。n<=100。

【算法】高斯消元解异或方程组

【题解】设f[i]=0/1表示是否按第i个点的按钮，根据每个灯的亮灭可以列出n个方程：a[i][j]表示第i盏灯是否受开关j影响，a[i][n+1]=a[i][i]=1。

由于方案不唯一，所以有自由元，DFS所有自由元得到所有可能答案，比较得到最少次数。DFS记得加最优性剪枝。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
bool a[maxn][maxn],A[maxn];
int n,ans;
void gauss(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){r=j;break;}
        if(!a[r][i])continue;
        if(r!=i)for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[r][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]){
            for(int k=n+1;k>=i;k--){
                a[j][k]^=a[i][k];
            }
        }
    }
}
void dfs(int x,int now){
    if(now>=ans)return;
    if(!x){ans=now;return;}
    if(a[x][x]){
        A[x]=a[x][n+1];
        for(int j=x+1;j<=n;j++)A[x]^=a[x][j]*A[j];
        dfs(x-1,now+A[x]);
    }
    else{
        A[x]=0;dfs(x-1,now);
        A[x]=1;dfs(x-1,now+1);
    }
}
    
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(n){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<n;i++){
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            a[u][v]=a[v][u]=1;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i]=a[i][n+1]=1;
        gauss();
        ans=0x3f3f3f3f;
        dfs(n,0);
        printf("%d
",ans);
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}