【CodeForces】889 C. Maximum Element 排列组合+动态规划

【题目】C. Maximum Element

【题意】给定n和k，定义一个排列是好的当且仅当存在一个位置i，满足对于所有的j=[1,i-1]&&[i+1,i+k]有a[i]>a[j]，求长度为n的好的排列数。n<=10^6。

【算法】排列组合+动态规划

【题解】设D(n)表示长度为n且满足a[n]=n的好的排列数，考虑这样的一个排列w。

如果数字n-1的位置j<n-k，那么显然这是一个好的排列。

如果数字n-1的位置j>=n-k，那么位置j前的数字一定<n-1，那么1~j形成好的排列的方案实际上是D(j)。

$$D(n)=(n-k-1)*(n-2)!+sum_{j=n-k}^{n-1}D(j)*A(n-2,n-j-1)$$

第一部分：数字n-1有n-k-1个位置，每个位置固定后可以进行全排列即(n-2)!

第二部分：枚举数字n-1的位置，固定后后面的n-j-1个位置可以从除了n和n-1的数字中任意取数填满，剩下的数字当成1~j构成D(j)。

化简后得到：

$$D(n)=(n-k-1)*(n-2)!+(n-2)!sum_{j=n-k}^{n-1}frac{D(j)}{(j-1)!}$$

边算前缀和即可。

最后，枚举答案中n的位置（因为数字n后面的位置没有意义），那么：

$$ans=sum_{i=1}^{n}D(j)*A(n-1,n-i)=(n-1)!*sum_{i=1}^{n}frac{D(j)}{(j-1)!}$$

复杂度O(n)。

#include<cstdio>
const int maxn=1000010,MOD=1e9+7;
int n,k,fac[maxn],fav[maxn],D[maxn],h[maxn];
void gcd(int a,int b,int& x,int& y){if(!b){x=1;y=0;}else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}}
int inv(int a){int x,y;gcd(a,MOD,x,y);return (x%MOD+MOD)%MOD;}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD,fav[i]=inv(fac[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)if(i>k){
         D[i]=1ll*fac[i-2]*((i-k-1)+h[i-1]-h[i-k-1]+MOD)%MOD;
         h[i]=(h[i-1]+1ll*D[i]*fav[i-1])%MOD;
    }
    printf("%lld",1ll*h[n]*fac[n-1]%MOD);
    return 0;
}

排列组合相关的DP需要记住一件事：1~n的排列代表的是n个数的大小关系的排列，不一定需要1~n，然后就可以很方便地转移了。