【BZOJ】2165: 大楼

【题意】从第0层开始有无穷层，每层有n个房间，给定矩阵A，A[i][j]表示从第x层的房间 i 可以跳到第x+A[i][j]层的房间 j （x任意），A[i][j]=0表示不能跳。初始在第0层第1个房间，求最少跳几次可以到达>=m层。n<=100,m<=10^18。

【算法】矩阵快速幂

【题解】我的写法好像和网上的不太一样……

设$f_n[i]$表示跳n步在房间 i 的最高层数（这里全部的n和题目的n无关），考虑递推列向量$f_n$，设转移矩阵T，满足$T_{i,j}=A_{j,i}$，那么有：

$$T imes f_n=f_{n+1}$$

初始状态f0={1,0,0...0}，那么写成幂形式：

$$T^n imes f_0=f_n$$

为了方便，容易发现$T^n$的最左一列就是$f_n$。

我们要跳到$f_n$中包含>=m的数字为止，所以预处理所有$T^{2^i}$，倍增即可。

复杂度O(n^3*log m+n log m)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=101;
const ll inf=1000000000000000000;
ll m,c2[N],c[N][N],A[70][N][N],ans[N][N],ans2[N][N];
int n;
void multply(ll a[N][N],ll b[N][N],ll d[N][N]){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            c[i][j]=-inf;//
            for(int k=1;k<=n;k++){
                c[i][j]=max(c[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)d[i][j]=c[i][j];
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%lld",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                scanf("%lld",&A[0][j][i]);
                if(A[0][j][i]==0)A[0][j][i]=-inf;
            }
        }
        int tot=0;
        bool ok=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(A[tot][i][1]>=m){ok=1;break;}
        if(!ok){
            while(1){
                tot++;
                multply(A[tot-1],A[tot-1],A[tot]);
                bool ok=0;
                for(int i=1;i<=n;i++)if(A[tot][i][1]>=m){ok=1;break;}
                if(ok)break;
            }
        }
        c2[0]=1;
        for(int i=1;i<=tot-1;i++)c2[i]=c2[i-1]*2;
        ll ANS=c2[tot-1];
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)ans[i][j]=A[tot-1][i][j];
        for(int i=tot-2;i>=0;i--){
            multply(ans,A[i],ans2);
            bool ok=1;
            for(int j=1;j<=n;j++)if(ans2[j][1]>=m)ok=0;
            if(ok){
                ANS+=c2[i];
                for(int k=1;k<=n;k++)for(int l=1;l<=n;l++)ans[k][l]=ans2[k][l];//
            }
        }
        printf("%lld
",ANS+1);
    }
    return 0;
}

注意T[i][j]=0时设为-inf，即不可达。

网上的角度：关键在于题意的理解……给定n个点的有向图边权矩阵，0表示无边，求最少经过几条边使得路径长度>=m。

经过指定条边后的最长路矩阵是很容易知道的，设$C^x$表示经过x条边后的最长路矩阵，$A$表示有向边权矩阵（0要设为-inf），那么：

$$C^x(i,j)=max_k{C^{x-1}(i,k)+A(k,j)}$$

所以C^x=A^x。

预处理$C^{2^i}$，然后倍增到第一行出现>=m的数字为止。

复杂度O(n^3 log m+n log m)。