【BZOJ】1497: [NOI2006]最大获利 最大权闭合子图或最小割

【题意】给定n个点，点权为pi。m条边，边权为ci。选择一个点集的收益是在[点集中的边权和]-[点集点权和]，求最大获利。n<=5000,m<=50000,0<=ci,pi<=100。

【算法】最大权闭合子图 或 最小割

【题解】网络流的复杂度是假的233大胆地写吧。

把边视为连向端点的点，就是最大权闭合子图了。

重点讲一下Amber论文中的最小割模型。

设$d_v$表示点v的邻边边权和，$g$表示一端选一端不选的边权和（即点集和其他点的割），那么：

$$2ans=-(-sum_v d_v+g+2*sum_v p_v)$$

为了方便求最小割，我们在右边整体加了个负号，这样我们就是求括号内的最小值了。

在网络流图中，对每个点x建一个点，S-x-T，割x-T表示在S割表示选，割S-x表示在T割表示不选，所以把选点的代价$2p_v-d_v$放在x-T上。

如果点u选而点v不选，那么边(u,v)就必须加入最小割，所以从u向v连边容量为边权，这样割掉u-T和S-v后还有通路S-u-v-T。

建图完毕后，图中有负权边。我们给所有节点加一个固定代价U（U足够大，无论选不选），这样显然不影响决策，就可以在S-x和x-T上+U，从而解决负权边的问题。

（最小割不能直接给所有边加权，这样会破坏边权大小关系，必须要从建图方面考虑不影响决策的代价）

最终答案就是$frac{U*n-c[S,T]}{2}$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,S,T,p[5010];
namespace nwf{
    const int maxn=5010,maxm=200010,inf=0x3f3f3f3f;
    int tot=1,first[maxn],d[maxn],q[maxn],cur[maxn];
    struct edge{int v,f,from;}e[maxm*2];
    void insert(int u,int v,int f){
        tot++;e[tot].v=v;e[tot].f=f;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;
        tot++;e[tot].v=u;e[tot].f=0;e[tot].from=first[v];first[v]=tot;
    }
    bool bfs(){
        memset(d,-1,sizeof(d));
        d[S]=0;
        int head=0,tail=1;q[head]=S;
        while(head<tail){
            int x=q[head++];
            for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].f&&d[e[i].v]==-1){
                d[e[i].v]=d[x]+1;
                q[tail++]=e[i].v;
            }
        }
        return ~d[T];
    }
    int dfs(int x,int a){
        if(x==T||a==0)return a;
        int flow=0,f;
        for(int& i=cur[x];i;i=e[i].from)
        if(e[i].f&&d[e[i].v]==d[x]+1&&(f=dfs(e[i].v,min(a,e[i].f)))){
            e[i].f-=f;e[i^1].f+=f;
            flow+=f;a-=f;
            if(a==0)break;
        }
        return flow;
    }
    int dinic(){
        int ans=0;
        while(bfs()){
            for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=first[i];
            ans+=dfs(S,inf);
        }
        return ans;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=0;T=n+1;int U;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u;
        scanf("%d",&u);
        nwf::insert(i,T,u*2);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        nwf::insert(u,v,w);nwf::insert(v,u,w);//
        p[u]+=w;p[v]+=w;U=max(U,max(p[u],p[v]));
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        nwf::insert(S,i,U);nwf::insert(i,T,U-p[i]);
    }
    printf("%lld",(1ll*U*n-nwf::dinic())/2);
    return 0;
}