本文主要内容是 CNN 的 BP 算法，看此文章前请保证对CNN有初步认识，可参考 Neurons Networks convolutional neural network（cnn）。
网络表示
CNN相对于传统的全连接DNN来说增加了卷积层与池化层，典型的卷积神经网络中（比如LeNet-5 ），开始几层都是卷积和池化的交替，然后在靠近输出的地方做成全连接网络，这时候已经将所有两维2D的特征maps转化为全连接的一维网络的输入。在前向传导或城中中，也只有两处与传统的 MLP 有所不同，分别是卷积层前向传导，与 pooling 传导到卷积层，如下图所示：
在上图中，层 $(l-1)$ 可以为pooling 层或是输入层，$(l)$ 层对 $(l-1)$ 层进行卷积操作，$(l+1)$ 对 $(l)$ 进行pooling操作。
符号表示
$K^{(l-1)}$：$(l-1)$ 层用到的卷积核，即$(l-1)$ 层的权值参数；
$K^{(l-1)}_{ij}$：从 $(l-1)$层映射到 $(l)$ 层Feature Map j 所用到的卷积核 $j$ 的第 $i$ 个卷积模板；
$b^{(l-1)}$：$(l-1)$ 层的偏置参数；
$b^{(l-1)}_j$：映射到 $(l)$ 层中的 Feature Map j 的偏置参数；
$w^{(l)}$：表示 $(l)$ 层的参数；
$w^{(l)}_j$：卷积层第 j 个Feature Map 到 pooling 层第 j 个 Feature Map 是一一对应关系，即每个Feature Map 对应一个$w^{(l)}_j$；
$b^{(l)}$：$(l)$ 层的偏置参数;
$b^{(l)}_j$：卷积层第 j 个Feature Map 到pooling层第 j 个 Feature Map的偏置参数；
$z^{(l)}$：$(l)$ 层的输入；
$a^{(l)}$：$(l)$ 层的输出.
前向传导
CNN 的前向传导，首先从 $(l-1)$ 层到 $(l)$ 层，此处一般为多对多的形式，即对多个通道进行卷积操作，生成多个Feature Map，$(l)$ 层第 j 个Feature Map的输入 $z_j^{(l)}$ 的计算如下：
[mathbf{z}_j^{(l)} = left ( sum_{j in M_j}mathbf{a}_i^{(l-1)}*mathbf{K}_{ij}^{(l-1)} ight)+b_j^{(l-1)}]
需要注意：这里 $mathbf{z}_j^{(l)},mathbf{a}_i^{(l-1)},mathbf{K}_{ij}^{(l-1)}$ 均为向量形式，" * "表示卷积操作，$mathbf{z}_j^{(l)}$ 代表 第j 个 Feature Map 的输入，$mathbf{a}_i^{(l-1)}$ 代表第 $(l-1)$ 层第 i 个 Feature Map的输出，$mathbf{K}_{ij}^{l-1}$ 代表第 j 个卷积核中第 i 个卷积模板，要生成 $(l)$ 层的第 j 个Feature Map，需要对 $(l-1)$ 层的 $M_j$ 个通道同时进行卷积操作，对得到的结果加偏置求和即可。
第 $(l)$ 层的输出只需要对输入$z_j^{(l)}$ 做一个激活函数即可：
综上，从
层 到
层可以用下图描述：
接下来从到传导到第
层，此处对应pooling 操作，一般为一对一的形式，层的第 N 个 Feature Map 生成层的N个 Feature Map ，计算过程如下：
这里down(.)对应的是一个下采样（sub-sampling） 函数，这个函数会对层的输出中的n-n的像素块进行pooling操作，使得输出在横纵方向都缩小n倍。经过down(.)操作后，
与
有相同的 size 根据以上公式计算即可。同理，输出继续做一个映射：
至此，前向传导过程已经可以求得，接下来与MLP类似，就是根据链式求导法则，求得残差的反向传导。
前馈 （Back Propagation）
对于 pooling 层，假设已知其第 j 个Feature Map 的残差向量 
，将其传导到，即pooling层的误差传导到卷积层：
比如对于，即层的第 j 个 Feature Map 的残差项如下图左，对其做
操作，得到下图右：
后
操作与
相反， 操作会还原的残差map，使其与卷积层的map大小一致，即还原到down(.)之前的大小。这里残差为一对一传递，将层 的map的激活函数的偏导数与从第 层的得到的残差map逐元素相乘，最后乘以参数
即可，注意这里为一个常量，每个Feature Map j 对应一个参数。
卷积层与层一般为多对多的关系，根据以上分析求得了卷积层的残差项
，接下来就是卷积层的残差反向传导的过程。卷积层前面分两种情况，1）若卷积层前面为pooling层，则上面假设已知的就是根据这里的推导所求得，并不是凭空出现。2）卷积层前面为初始输入。
首先回忆卷积过程，卷积核 j 会对层多个通道进行卷积（每个通道对应 j 的一个卷积模板
）求和，才会得到得到层 的第 j 个 Feature Map，所以层的通道 i 的残差项应该由与之相关的层 的所有Feature Map j 共同前向传导。假设与层的通道 i 相关的 的所有Feature Map 共有 M 个，则有：
后做卷积的意思是完全卷积 假设输入图像 A 大小为 a x b，卷积核 B 大小为c x d，操作会对A进行填充，在 A 左右各填充（d-1）列，上下各填充（c-1）行，即 后 A 的大小变为( a+2c-2)x(b+2d-2),用B对后的A做卷积，则卷积返回的大小为（a+b-1）x（a+b-1）。
即为旋转180度。
此处公式设计到卷积操作，形式比较复杂，下面引入一个示例来讲解上述公式：
层的大小为 3 x 3，对层的通道 i （为了便于说明，假设层为单通道），通过如下两个卷积核 
、 
，得到 层的两个Feature Map，假设其残差已经求得（前边已经讲过如何求卷积层的残差），残差分别为
。
分别进行
操作与操作：
将
与
进行卷积，
与
进行卷积：
注意此处不考虑
项（或者认为是线性激活 即 = 1），对结果求和有：
以上过程即完成了整个公式
的计算，为什么这么计算呢？可以把以上过程展开，把与 展开为全连接的形式，（此处清楚起见，只写了），根据MLP中误差按权值平均反向传导的形式 可求得层的残差
，其实归根到底还是MLP得形式。
求解网络参数的导数
至此，关于CNN中的输入前向传导与残差的后向反馈全部计算完成，下面可以根据
来对网络的权值
进行求导。
假设当前损失函数为
1）对于 ，根据链式求导法则：
根据残差的定义与前边的计算公式：
可得到如下公式，公式中的累加是因为 conv 层中 n *n 的区域变为 1个 1*1 的 pooling 元素，但是 这 n*n 的权值取值是一样的，所以对该权值求导是 pooling 层所有节点的累加：
这里
均为实数，且
中的所有元素的参数均为，所以对结果向量进行求和操作。这里的
代表对层Feature Map j 中的所有元素求和
2）对于 ，根据链式求导法则：
根据残差的定义与前边的计算公式：
可得：
同样通过一个实例说明关于卷积核的偏导数求解过程，对层的通道 i 用卷积核进行卷积操作，得到层的 Feature Map j，其残差
已经求得，对于下图左的卷积过程展开，下图右为展开后：
注意这里层的节点① ② ④ ⑤ 用卷积核卷积生成生成层的节点①，即层的节点① ② ④ ⑤ 与层的节点①通过权值相连，分别为
回忆传统的MLP网络的参数求导公式：
所以这里有对于单个层的节点①对应的权值求导有：
考虑层的节点② ③ ④对应的权值与节点①对应的权值相等（用的同一卷积核）：所以可以忽略节点对应的下标：
同样分别对节点层的节点② ③ ④对应的权值求导，比如对于节点 ④：
最终将偏导数项相加有：
下图描述了以上过程，等等，仔细观察一下以上公式，这不就是用层残差Map 对层的输出
做卷积吗？oh my god，的导数可以通过对层的输出与卷积层的残差矩阵卷积得到！！
、
总结以上公式综上所述：
1）任意层前向传到到卷积层与卷积层前向传导到pooling层
2）pooling层前馈到卷积层，与卷积层前馈到任意层
3）任意层与卷积层之间参数的求导
4）pooling层与卷积层之间参数的求导
一些复杂的卷积操作matlab函数（'valid' 与 'full' 表示的卷积模式不同）：
至此，CNN中的前后向传导的过程全部推倒完毕，其实万变不离其宗，归根到底还是MLP那一套BP算法，接下来就是实现CNN了，也就是cs231n的作业。
参考：
Notes on Convolutional Neural Networks, Jake Bouvrie
http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3468450.html
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/9993371