神经网络和深度学习（一）神经网络基础

1、什么是神经网络？

（1）房价预测模型Ⅰ：

 神经网络：size x ——> O ——> price y

ReLU函数（Rectified linear unit 修正线性单元）：修改线性的函数，避免出现price未负数的情况.

（2）房价预测模型Ⅱ：

即神经网络为：

2、Binary classification（二分分类）：

以识别照片中的猫为例

① 判定：若是猫，则 y = 1；若不是猫，则 y = 0.

② 图片规格：64*64，数字化表示：3个 64*64矩阵，分别表示Red Green Blue的强度值.

③ 样本x的向量长度：n_x = 64*64*3 = 12288.

④ 训练集：{(x⁽¹⁾, y⁽¹⁾), (x⁽²⁾, y⁽²⁾), ..., (x^(m), y^(m))}.

⑤ 训练集数量：m_train，测试集数量：m_test.

⑥ 矩阵X：有m列，每一列表示一个样本x⁽ⁱ⁾.

⑦ 向量Y：长度为m.

3、Logistic regression（逻辑回归）：

（1）问题定义：

给出 x，求 y^ = P(y = 1 | x)，即在 x 的条件下，照片是猫的概率，y^ 的取值为[0, 1].

（2）解决思路：

给出参数 w（n_x 长度向量），参数 b（常数）.

输出 y^ = w^Tx + b（ b 即 θ₀，w 即 θ₁~θ_nx）.

但这样输出的概率值会超出[0, 1]的范围，不合理.

使用sigmoid函数，对向量 x 添加x₀ = 1，向量化计算 y^ = sigmoid(w^Tx +b) = sigmoid(θ^Tx)，将概率值限制在了[0, 1]内.

其中 sigmoid(z) = 1/(1 + e^(-z)).

问题转换为：求参数 w 和 b，使得 y^⁽ⁱ⁾ 与 y⁽ⁱ⁾ 相近.

4、Cost function（代价函数）：

Loss/Error function （损失函数）：

在逻辑回归中的损失函数：

如果 y = 1， L = - log(y^)，则希望 y^ 越大；如果 y = 0，L = log(1 - y^)，则希望 y^ 越小.

Cost function：

问题转换为：求参数 w 和 b，使得最小化 J(w, b).

5、计算图的导数计算：

体会链式法则和反向传播：

dJ/dv = 3;

dv/da = 1，dJ/da = dJ/dv * dv/da = 3;

dv/du = 1，dJ/du = dJ/dv * dv/du = 3;

du/db = 2，dJ/db = dJ/du * du/db = 6;

du/dc = 3，dJ/dc = dJ/du * du/dc = 9.

6、Gradient Descent（梯度下降）：

（1）梯度下降过程：

（2）含有2个特征量，单个样本的情况：

"da" = dL/da = -y/a + (1-y)/(1-a)

"dz" = dL/dz = dL/da * da/dz = [-y/a + (1-y)/(1-a)] * a(1-a) = a-y

"dw₁" = dL/dw₁ = dL/dz * dz/dw₁ = (a-y)*x₁ 

"dw₂" = dL/dw₂ = dL/dz * dz/dw₂ = (a-y)*x₂

"db" = dL/db = dL/dz * dz/db = (a-y)*1 = a-y

梯度下降流程（一次梯度更新）：

w₁ = w₁ - α*dw₁ = w₁ - α*(a-y)*x₁

w₂ = w₂ - α*dw₂ = w₂ - α*(a-y)*x₂

b = b - α*db = b - α*(a-y)

（3）含有2个特征量，m 个样本的情况：

梯度下降过程：

Repeat{

　　w₁ = w₁ - α/m*∑dw₁⁽ⁱ⁾ = w₁ - α/m*∑(a-y)*x₁⁽ⁱ⁾

　　w₂ = w₂ - α/m*∑dw₂⁽ⁱ⁾ = w₂ - α/m*∑(a-y)*x₂⁽ⁱ⁾

　　b = b - α/m*∑db⁽ⁱ⁾ = b - α/m*∑(a-y)

}

7、向量化：

循环计算：效率低

向量化计算：效率高