UVA 10600 ACM Contest and Blackout （次小生成树）

题意：

　　求图中的最小生成树和次小生成树。

题解：

　　

一种容易想到的方法是枚举删除最小生成树上的边，再求最小生成树。用kruskal这种算法的复杂度为O(n*elog2e)，当图比较稠密时，复杂度接近O(n^3)。

    但有一种更简单的方法：先求最小生成树T，枚举添加不在T中的边，则添加后一定会形成环。找到环上边值第二大的边(即环中属于T中的最大边)，把它删掉，计算当前生成树的权值，取所有枚举修改的生成树的最小值，即为次小生成树。

    这种方法在实现时有更简单的方法：首先求最小生成树T，然后从每个结点u遍历最小生成树T，用一个二维数组max[u][v]记录结点u到结点v的路劲上边的最大值(即最大边的值)。然后枚举不在T中的边(u,v)，计算T- max[u][v] + w(u,v)的最小值，即为次小生成树的权值。显然，这种方法的时间复杂度为O(n^2 + e)。

    可见，第二种算法将原来的时间复杂度O(n^3)提高到了O(n^2)。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=105,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int pre[maxn],mincost[maxn];
bool vis[maxn],used[maxn][maxn];
int cost[maxn][maxn],path[maxn][maxn];
void init()
{
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    memset(path,0,sizeof(path));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(used,false,sizeof(used));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        mincost[i]=INF;
}
int prim()
{
    init();
    int res=0;
    mincost[1]=0;
    while(1)
    {
        int v=-1;
        for(int u=1;u<=n;u++)
            if(!vis[u]&&(v==-1||mincost[u]<mincost[v]))
                v=u;
        if(v==-1)
            break;
        if(pre[v]!=-1)
        {
            used[pre[v]][v]=used[v][pre[v]]=true;
            for(int u=1;u<=n;u++)
            {
                if(vis[u])
                    path[u][v]=path[v][u]=max(path[u][pre[v]],cost[v][pre[v]]);
            }
        }
        vis[v]=true;
        res+=mincost[v];
        for(int u=1;u<=n;u++)
        {
            if(mincost[u]>cost[u][v])
            {    
                mincost[u]=cost[u][v];
                pre[u]=v;
            }
        }
    }
    return res;
}
int sec_mst(int res)
{
    int ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!used[i][j])
                ans=min(ans,res-path[i][j]+cost[i][j]);
        }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                cost[i][j]=INF;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int a,b,c;
            cin>>a>>b>>c;
            cost[a][b]=cost[b][a]=c;
        }
        int ans=prim();
        printf("%d %d
",ans,sec_mst(ans));
    }
    return 0;
}