数据结构与算法分析（四）——不相交集

• 基本介绍

一个集合S，集合中一个元素a。a的等价类是S的一个子集，该子集包含所有与a有关系的元素。

等价类形成是对S的一个划分且S中的每一个成员恰好出现在一个等价类中。这样，判断a与b是否有关系，

只需要判断a与b是否在一个等价类中即可。

 

对于集合S划分，取任意两个等价类，Si与Sj，如果Si∩Sj = ∅，则称这些集合不相交。

对于不相交集，有两种操作，Union/Find操作。Find操作找包含给定元素的集合（等价类）名字。

Union把两个等价类合并成一个新的等价类。

 

• 数据结构：采用树来表示每一个集合（等价类），因为树上的元素都有一个共同的根。

Union(X, Y)，将X,Y合并成一个新的等价类，且X做为根。

Union(5,6)

Union(7,8)

Union(5,7)

这样的构造方法，最坏情况下可以构建一课高度为N-1的树，即Union(7,8), Union(6,7), Union(5,6)……

这使得Find操作在N-1次操作下才能找到树根，运行时间O（N）

将上述森林用数组表示，约定数组1-8个元素对应的值代表其父亲，例如元素8对应的值为7，表示其父亲为7。

而5对应的值为0，表示5本身就是树根。

这样找树根就是一个递归过程，如：Find(8), 父亲为7， 执行Find(7)，父亲为5，执行Find(5)，对应值为0，表示5为树根，递归结束，

这样即找到8所在等价类的树根为5。判断6,8是否有关系，即Find(8) == Find(6)是否成立。 

typedef int SetType;  
typedef int ElementType;  
typedef int* DisjSet;  
  
DisjSet Initialize(int Num)  
{  
    DisjSet S = new SetType[Num + 1];  
  
    for(int i = 0; i < Num + 1; i++)  
        S[i] = 0;  
    return S;  
}  
  
void Destroy(DisjSet S)  
{  
    delete [] S;  
}  
  
void Union(DisjSet S, SetType root1, SetType root2)  
{  
    S[root2] = root1;  
}  
  
SetType Find(DisjSet S, ElementType X)  
{  
    if(S[X] <= 0)  
        return X;  
    else  
        return Find(S, S[X]);  
}  
  
int main()  
{  
    int elementNum = 8;  
    DisjSet S = Initialize(elementNum);  
  
    Union(S, 5, 6);  
    Union(S, 7, 8);  
    Union(S, 5, 7);  
  
    cout << ( Find(S, 4) == Find(S, 5) )<< endl;  
    cout << ( Find(S, 6) == Find(S, 8) )<< endl;  
  
    Destroy(S);  
    system("pause");  
    return 0;  
}  

  

• 优化Union

为了避免树的深度过大，可以每次让深度大的树做为新根，这样减少树深度增加速率。

那么就需要记住当前根的深度，而由于我们只采用了一个数组，所以，可以让根的值为负值，代表深度。

这样，根节点的值为-1，表示深度为-1。 

对于上述情形，执行Union(4,5)。按照之前的Union操作，得到结果为：

优化后结果

对应优化后结果的数组如下：

void Union(DisjSet S, SetType root1, SetType root2)  
{  
    if(S[root2] < S[root1])  
        S[root1] = root2;  
    else  
    {  
        if(S[root1] == S[root2])  
            S[root1]--;  
        S[root2] = root1;  
    }  
}  

• 路径压缩

对于比较深的树，Find操作还是比较耗时的，要一步一步递归直至树根。

改进思路：执行一次Find后，让该路径上，所有节点直接指向根，而不需要指向父亲，这样下一次查找的时候能够快速找到根，节约时间。

 

执行一次Find(8)操作。由于元素8所在树的树根为5，所以执行Find后，数组要变成。

这样，当进行下一次调用Find(8)的时候，能够快速找到8对应的树根。

SetType Find(DisjSet S, ElementType X)  
{  
    if(S[X] <= 0)  
        return X;  
    else  
        return S[X] = Find(S, S[X]);  
}  

 

 

转自：http://blog.csdn.net/spch2008/article/details/9338943